基于RANS／LES方法的超声速底部流场数值模拟

张露，李杰

基于RANS／LES方法的超声速底部流场数值模拟

张露，李杰＊

西北工业大学 航空学院，西安 710072

分别采用基于两方程k－ω剪切应力输运（SST）湍流模型的延迟DES（DDES）、更改的DDES（MDDES）和改进的DDES（IDDES）方法，并引入可压缩修正，结合三阶MUSCL－Roe和五阶 WENO－Roe两种空间离散格式，针对超声速底部的复杂流动现象，开展了数值模拟研究。计算结果表明本文方法能够捕捉到超声速底部流动中丰富的湍流结构，通过分析计算结果对超声速底部的流动机理有了进一步的认识，为下一步的超声速底部流动减阻改进和雷诺平均Navier－Stokes／大涡模拟（RANS／LES）方法在非定常高可压缩性流动中的应用提供了参考。通过对比分析不同空间离散格式的计算结果研究了数值耗散对计算的影响，五阶WENO－Roe格式的计算结果与实验结果吻合良好；对不同RANS／LES混合方法的计算结果进行了对比分析，结果表明IDDES方法在近壁区的表现优于DDES和MDDES方法。

RANS／LES混合方法；超声速底部流动；压缩性效应；湍流模型；数值模拟

炮弹或导弹等细长体类飞行器在超声速飞行中会受到波阻、底阻和摩阻三方面阻力的影响，而其中底阻所占的比重最大，要改进飞行品质，准确计算飞行轨迹，增大射程，就要对超声速底部流动进行全面准确的分析研究，从而采取有针对性的措施减小底阻的不利影响。

近年来研究者们已经利用实验手段对超声速底部流动开展了一些有价值的工作。Herrin和Dutton［1］通过风洞试验对马赫数为2．5的超声速底部流场近尾迹区域复杂流动结构进行了分析研究；Bourdon和Dutton［2］利用平面激光成像技术对超声速底部流场进行研究，获得了近尾迹区域瞬时流动的影像数据。然而风洞试验中对模型进行固定的支架和相关测量设备都会对结果产生影响，虽然可以依靠经验方法对试验结果进行修正，但目前仍然缺乏对这些经验方法可靠性的验证研究。试验技术的局限性以及计算机技术的快速发展使得数值计算成为一条研究超声速底部流场的便捷途径。然而超声速底部流场内所包含的复杂流动现象对数值计算方法提出了新的挑战。工程计算中常用的雷诺平均Navier－Stokes（RANS）方法对附着流和小分离流动有较好的计算能力，但由于其忽略了小尺度脉动，难以准确预测超声速底部流场出现的大尺度涡结构及底部的非定常脉动现象。大涡模拟（LES）方法虽然可以较好地预测流动分离现象，但对于高雷诺数流动需要极高的网格分辨率和非常小的时间步长才能完全捕捉到边界层内拟序结构的演化［3］，过高的计算成本阻碍了LES方法的广泛应用。

当前有限的计算资源和研究者们对高精度数值计算结果的需求促使RANS／LES混合方法在近年来得到了快速的发展。研究者们对RANS和LES之间不同的混合方式开展了大量的工作，在众多混合方法中，DES类混合方法展现出了广泛应用的潜力。针对不同尺度湍流运动的特点，Spalart等在1997年基于Spalart－Allmara（S－A）模型提出了脱体涡模拟（DES）方法［4］，也被称为DES97方法，这一方法也成为后来众多的DES类衍生方法的雏形。进一步的研究表明DES方法会导致出现模型应力耗散（MSD）现象［5］，从而引起 网 格 诱 导 分 离 （GIS）［6］和 对 数 层 不 匹 配（LLM）［7］等问题。为了解决 MSD引起的GIS问题，Spalart提出了DES97的改进版本——延迟DES（DDES）方法［5］。Shur等［8］在此基础上又提出了改进的DDES方法（IDDES），其目的是进一步解决模型应力耗散引起的对数层不匹配的问题。Xiao［9－12］和 Huang［13］等采用基于两方程湍流模型的DDES和IDDES方法对串列圆柱［9－10］、跨声速激波震荡［13］、基本起落架［11］和空腔流动［12］等复杂湍流问题开展了广泛的计算研究。

各种RANS／LES方法也开始被国内外学者们应用到超声速底部流场的研究中。Forsythe等［14］采用了基于S－A和剪切应力输运（SST）湍流模型的DES方法，并引入了可压缩修正，分别采用结构和非结构计算网格，结果表明DES方法的计算结果与实验吻合良好。Baurle等［15］采用一种分区域的RANS／LES混合方法，其将SST模型和一方程SGS模型结合来预测超声速底部流动。Kawai和Fujii［16］采用BL和Smagrinsky模型结合的RANS／LES方法，通过与LES、MILES和RANS计算结果的比较证实该方法在计算精度和效率上都有较好的表现。Simon等［17］分别采用了基于S－A湍流模型的分区域和全局DES方法，通过计算对不同方法对超声速底部流场的预测能力进行了对比分析。薛帮猛和杨永［18］采用了基于两方程湍流模型的DES方法，计算结果表明，相对于RANS方法，DES方法可以更好地模拟超声速底部流场中分离涡的发展。肖志祥和符松［19］采用了基于两方程SST模型和弱非线性修正的k－ω模型的DES和DDES方法，引入压缩性修正，结果表明压缩性修正可以更好地描述流场特征，DES类混合方法能够捕捉到丰富的流动现象和非定常特性。高瑞泽［20］和陈琦［21］等构造了各自的 BL－Smagorinsky混合模型，相关计算表明这些方法能够得到优于RANS的模拟结果。

本文采用基于两方程k－ωSST湍流模型的多种RANS／LES混合方法并考虑可压缩修正，对超声速底部流动开展了数值模拟研究，结合不同空间离散格式，分析了数值耗散效应对流场计算结果的影响，并对不同RANS／LES混合方法在超声速底部流动中的表现进行了对比分析，为进一步研究超声速底部流动减阻改进措施和RANS／LES方法在非定常高可压缩性流动中的应用提供了参考。

1 数值方法及湍流模型

本文工作采用中心有限体积法，时间离散采用二阶全隐式LU－SGS－τTS算法，空间离散采用基于五阶WENO插值的Roe格式。超声速底部流场会出现膨胀激波等复杂的流动问题，采用Roe格式可能出现非物理解或影响计算的稳定性，为了正确求解流场，本文中采用 Harten和Hyman［22］提出的熵修正方法。

对于超声速底部流动的数值模拟，Forsythe等［14］通过比较一方程S－A模型和两方程SST模型的计算结果，得出SST模型的表现明显好于S－A模型，在本文计算中采用SST模型作为RANS／LES混合方法的基础湍流模型。借鉴DES97中混合长度的思想，Travin等［7］构建了基于SST模型的DES方法。通过引入过渡函数避免LES模式在边界层内被错误的激活，Menter和Kuntz［6］提出了基于SST模型的DDES方法。

1．1 基于k－ωSST模型的RANS／LES混合方法

原始的SST模型［23］对近壁区流动采用 Wilcox提出的k－ω模型，而在边界层边缘及自由剪切层则采用k－ε模型，两者通过混合函数进行过渡。采用Suzen和Hoffmann［24］提出的可压缩修正，这种修正方法在模型中的k－ε部分加入了可压缩耗散项和压力扩张项，引入可压缩修正和混合长度l后，湍动能输运方程可写为

式中：ρ为密度；k为湍动能；σk＝0．5；μ为分子运同的混合方法取不同的值，对于引入可压缩修正后的SST模型，有

式中：常系数α1＝1．0，α2＝0．4，α3＝0．2。

混合函数

1．1．1 DDES的构造

不同于 Menter等［6］提出的DDES方法，本文所采用的DDES方法中的混合长度是遵循Sparlat［5］基于 S－A 湍流模型提出的 DDES方法的形式而来的，Gritskevich等［25］对基于SST模型的DDES方法的一些参数重新进行了标定。当采用DDES方法时混合长度取

式中：CDES＝0．78F1＋0．61（1－F1）；亚格子尺度Δmax＝max（Δx，Δy，Δz），Δx、Δy、Δz分别为x、y、z3个方向上的网格步长，延迟函数为

其中：νt为湍流黏性；κ为Karman常数，取值为0．41；S为应变变化率张量；Ω为旋度张量。

1．1．2 MDDES的构造

Vatsa和Lockard［26］在应用DDES方法对双圆柱算例进行模拟时，圆柱上游会出现较强的涡黏性，为了保持DDES方法在近壁面表现，同时避免这种非物理的解，利用延迟函数fd构造了一个新的混合函数来对k方程的产生项进行干预，这就是更改的DDES（MDDES）方法。当fd＞CMMD时（常数CMMD＝0．975），修改后的k方程产生项为

1．1．3 IDDES的构造

当采用IDDES方法时，混合长度l取值为

式中：亚格子长度Δ＝min［Cwmax（d，Δmax），Δmax］，Cw＝0．15。lSST、CDES和Δmax的定义与式（4）中一致。经验混合函数珟fd的定义为

当fe＝0时，IDDES以DDES模式运行；当fe＞0，珟fd＝fb时，IDDES方法在近壁区以WMLES模式运行。函数fe的具体构成为

式中：各模型常数Cdt1＝20，Cdt2＝3，Cl＝5．0，Ct＝1．87。

1．2 空间离散格式

对无黏通量项离散采用基于迎风型通量差分裂的Roe格式。在三维贴体正交坐标系下穿过网格单元界面的无黏通量可表示为

采用Roe格式对Navier－Stokes方程空间项进行离散求解时，首先求得网格单元体交界面两侧变量的值qL和qR。对网格交界面左右两侧的变量是通过差值得到的。利用基于平均的网格中心点处的值来插值得到网格交界面处的变量值。因此，对交界面处变量插值的精度就决定了整个空间离散格式的精度。为了研究格式耗散对计算结果的影响，本文分别采用基于MUSCL插值的MUSCL－Roe三阶格式和基于改进的 WENO方法对交界面两边状态参量进行重构的 WENORoe五阶格式。

由MUSCL插值方法［27］得到的三阶迎风差分格式为

以一维标量模型方程为例，对五阶 WENO守恒差分格式进行介绍，五阶精度的边界外推值形式为

ωk为非线性加权因子，其定义为

2 计算网格

数值模拟是基于Herrin和Dutton［1］的实验进行的，入口自由来流马赫数为2．46，入口压力p＝31 415Pa，温度为T＝145K，实验圆柱直径D＝63．5mm，基于圆柱直径的雷诺数Re＝2．858×106。

入口速度分布与实验观测值一致，圆柱表面为无滑移边界，出口为插值边界，远场为无反射边界条件。基于圆柱直径D和声速的无量纲时间步长为Δt＝0．001，对应的物理时间步长为2．63×10－4s，每个时间步内取15个子迭代。待流场稳定后取最后3×104时间步的计算结果进行统计平均。

采用多块结构化网格技术生成了计算网格，整个计算域尺寸为4．5D×9D（圆柱区域底部半径×圆柱高度，D为圆柱直径），入口距圆柱底部为4D，底部下游取5D。对于圆柱底部附近及下游关注区域内的网格进行了加密，壁面首层网格满足y＋≤1，计算网格如图1和图2所示。为了研究网格尺度的影响，划分了3套计算网格，均采用相同的网格拓扑结构和相同的壁面首层网格尺度，网格总数分别为6×106（Mesh－C），1．5×107（Mesh－M），2．1×107（Mesh－F）。采用 DDES方法配合三阶MUSCL－Roe空间格式分别对3套网格求解。

这里仅对不同密度网格下超声速底部流场中心轴线上的轴向时均速度U／U∞分布进行对比（如图3所示），细节的流场分析见3．1节。可以看出，3套网格计算得到的最大回流速度均比实验值要大。粗网格计算得到的最大回流速度明显超过预测，流动再附点位于x／R＝2．21，与实验值的相对误差为17．23%；中等密度网格和细网格计算得到的最大回流速度和流动再附位置基本一致，再附点位于x／R＝2．38，与实验值的相对误差为10．86%。从计算精度和计算效率的角度出发，本文后面的工作均选用中等密度网格（Mesh－M）。

3 计算结果分析

3．1 流 场

为了深入研究超声速底部的流动机理，首先对数值计算得到的流场进行分析，计算采用IDDES方法并配合五阶WENO空间格式。

图4所示为采用IDDES方法计算得到的z＝0截面的瞬时密度梯度云图，从图中可以看出超声速底部流场的整个发展过程。由于圆柱底部的几何转折使得湍流边界层在此处形成分离，同时形成了较强的膨胀波（Ⅰ）。在靠近圆柱底部形成了一个回流区域（Ⅱ），可以看出许多小尺度的涡结构在该区域内运动，在底部拐角处，流动的转折角度和膨胀波的强度都由回流区域的大小决定。自由剪切层（Ⅲ）将回流区与外部的高速流动区域分割开来。在膨胀波的作用下，剪切层转向中心轴线方向。在中心轴线上存在一个轴向速度为0的点即为流动再附点，剪切层经过再附区域（Ⅳ）后，流动转而沿着中心轴线发展，同时形成了再压缩激波（Ⅴ）。在再附区域内，一部分动量不足的气流由于逆压梯度的影响被推到回流区内，另一部分来流则向着下游尾迹区继续发展，从图中可以看出在回流区内小尺度的涡结构较为集中，而在尾迹区内则多是较大的湍流结构，这一点在图5中得到了进一步的印证。

图5 为IDDES方法计算得到的超声速底部流场的瞬时湍流结构图，图中展示的是依据Q准则［30］的等值面图，可以看出在圆柱底部流动具有较强的非定常特性，底部区域呈现出丰富的湍流涡结构，既包含大的发卡涡同时也包含了许多小尺度的涡结构。也表明本文所采用的方法对小尺度涡具有较强的捕捉能力。

3．2 空间离散格式的影响

采用基于SST湍流模型的DDES方法对超声速底部流动进行数值模拟，空间离散格式分别采用三阶 MUSCL－Roe格式和五阶 WENO－Roe格式，对计算结果进行对比分析，以研究两种空间格式对数值结果的影响。

图6对比了三阶 MUSCL－Roe格式和五阶WENO－Roe格式在底部上游1mm位置的边界层速度型。在边界层内，DDES方法中的RANS模式有效，可以看出两种格式对未分离前的边界层的预测结果没有差异，均与实验观测值吻合良好。

图7 对比了两种空间格式得到的底部时均压力系数Cp分布，从图中可以看出格式耗散对表表面压力分布的影响，实验中底部表明的压力系数分布沿径向较为平坦，而三阶MUSCL－Roe格式得到表面压力系数在径向变化较大；五阶WENO－Roe格式得到的表面压力系数在径向变化则相对较小，与实验中的Cp径向分布趋势一致，Cp≈－0．09，与实验观测值－0．102的相对误差为11．76%，这明显优于三阶MUSCL－Roe格式。

对比两种空间格式得到的中心轴线上的速度分布（如图8所示），可以看出五阶格式得到的最大回流速度和再附点位置均与实验吻合良好，而三阶MUSCL－Roe格式得到的回流区域较之实验要小，预测的再附位置更靠近上游，最大回流速度也比实验值要大。

在底部下游区域取x／R＝0．629 9，x／R＝1．259 8，和x／R＝1．889 8这3个位置的径向和轴向速度分布进行对比，如图9和图10所示。从图中可以看出，由于较大的数值耗散，三阶MUSCL－Roe格式得到的自由剪切层的宽度明显小于五阶WENO－Roe格式，自由剪切层位置较之实验更靠近中心轴线；而五阶 WENO－Roe格式预测的自由剪切层的宽度和位置与实验吻合良好。计算结果表明，对于超声速底部流场出现的自由剪切层等间断现象，五阶 WENO－Roe格式比三阶MUSCL－Roe格式具有更强的处理能力。

图11展示了两种空间格式计算得到的截面瞬时涡量云图，由于存在较大的耗散，三阶MUSCL－Roe格式只捕捉到了底部下游区域较大的流动结构，与之相比，五阶 WENO－Roe格式能够捕捉到更多的小尺度结构。

3．3 RANS／LES混合方法的影响

分别采用基于SST湍流模型的DDES，MDDES和IDDES方法对超声速底部流动进行数值模拟，空间离散格式采用五阶WENO－Roe格式，对计算结果进行对比分析，以研究不同RANS／LES方法的表现。

图12比较了3种方法在底部前1mm计算得到的边界层速度分布。对比3种混合方法的计算结果，DDES和IDDES方法计算得到的速度分布基本一致，这是由于IDDES方法在底部的上游附体区域，fd函数中的（1－fdt）分支被激活，即模型处于DDES模式。而MDDES方法计算得到的边界层速度型与DDES和IDDES方法具有较大差异，MDDES所预测的边界层高度较之DDES和IDDES方法要薄。与实验值相比，DDES和IDDES计算得到的边界层高度与实验结果吻合较好；MDDES计算得到的边界层厚度远小于实验观测值，其速度分布与实验结果存在较大差异。

从底部压力系数（图13）的对比中可以看出，3种方法计算得到的底部压力分布均较为平坦，这一趋势与实验结果是一致的，较之其他两种方法，MDDES预测值与实验值差异最大，DDES计算得到的底部压力系数分布略小于实验值，ID－DES方法在这里处于WMLES模式，其预测值与实验值吻合良好。结合图12中边界层速度型的计算结果，IDDES方法在近壁区的表现比DDES和MDDES方法要好，这是由于IDDES将RANS／LES切换向边界层内压迫使其在近壁面区域的表现更接近实验值。

图14是底部下游沿中心轴线上的轴向时均速度分布对比。与实验相比，DDES和IDDES方法所预测的回流区最大速度位置和再附点位置都与实验吻合良好。MDDES方法所预测的回流区域比实验要大，最大速度位置与再附点和实验相比更靠近下游。在再附点之后，DDES和IDDES方法的轴向速度分布与实验存在一定差距，两种方法在x／R＝4．0附近均开始偏离实验值，这可能是随着与圆柱底部的距离不断增加，下游尾迹区的网格尺度逐渐增大所引起的。

图15 和图16分别比较了圆柱底部下游区域3个不同位置的轴向和径向时均速度。在x／R＝0．629 9和x／R＝1．259 8位置，3种方法计算得到的剪切层均位于r／R＝0．8～1．0区域内，均与实验结果吻合良好。在剪切层向里的回流区内（r／R＜0．8），DDES和IDDES的计算结果较为接近，也更靠近实验值，相对而言MDDES的计算结果较实验有一定的差异。进一步向下游发展，在x／R＝1．889 8位置，此处靠近再附区域，DDES和IDDES方法得到的剪切层高度位于r／R＝0．5附近，与实验值吻合良好，而MDDES方法的预测值比实验要高。总体来看，DDES和IDDES所预测的不同位置轴向和径向速度分布更接近实验值。

图17 比较了3种不同混合方法计算得到的瞬时涡量云图。从图中可以看出，3种方法均能够捕捉到底部流场的小尺度涡结构，相比之下IDDES所预测下游流场涡结构更加细腻。

4 结 论

考虑可压缩修正，分别采用基于两方程k－ω SST湍流模型的DDES、MDDES和IDDES方法对超声速底部流场进行数值模拟研究。计算结果表明RANS／LES方法能够捕捉到超声速底部流场中丰富的涡结构，深入认识超声速底部流场的流动机理。采用三阶MUSCL－Roe和五阶 WENO－Roe空间离散格式研究了格式耗散对流场计算的影响，并对不同RANS／LES混合方法的表现进行了分析。

1）对比不同空间离散格式的影响，两种格式都能够预测未分离前的边界层；由于数值耗散的影响，五阶 WENO－Roe格式对圆柱底部表面压力分布、回流区最大速度、分离再附位置、自由剪切层宽度和位置的预测均比三阶MUSCL－Roe格式要好；在底部下游区域，五阶 WENO－Roe格式能够捕捉到更多细小的涡结构。

2）对比不同RANS／LES方法的影响，DDES和IDDES方法能够准确预测边界层的速度分布、回流区最大速度及其位置和流动再附点位置；IDDES方法在近壁面区域有较好的表现，能够准确预测超声速底部的表面压力分布；DDES和IDDES方法对不同位置速度分布的预测结果比MDDES方法要好；IDDES方法预测的下游流场涡结构更加细腻。

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Numerical simulations of supersonic base flow field based on RANS／LES approaches

ZHANG Lu，LI Jie＊
School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China

Numerical investigation on supersonic base flow is performed using several Reynolds averaged Navier－Stokes（RANS）and large eddy simulation（LES）hybrid methods based on k－ωshear stress transport（SST）model with compressibility correction，including delayed detached eddy simulation（DDES），modified－DDES（MDDES）and improved－DDES（IDDES）approaches．Third－order MUSCL－Roe and fifth－order WENO－Roe spatial scheme are applied in the investigation．The numerical results show plenty of small scale turbulence structure in supersonic base flow．The complex flow physics are comprehensively understood，which provides references for the base aerodynamic drag reduction and the application of RANS／LES hybrid methods to unsteady highly compressible flows in future research．Numerical dissipation effects of two spatial schemes are investigated．Computational results show that fifth－order WENO－Roe scheme is more validated than third－order MUSCL－Roe scheme when compared with experimental data．Furthermore，comparative analysis of the computational results with several RANS／LES hybrid methods is conducted．The results show that IDDES approach has better performance in regions near the wall than DDES and MDDES approaches．

RANS／LES hybrid methods；supersonic base flow；compressibility effects；turbulence model；numerical simula－tions

2016－01－22；Revised：2016－02－18；Accepted：2016－05－12；Published online：2016－05－12 12：48

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160512．1248．002．html

s：National Basic Research Program of China（2015CB755800）；National Natural Science Foundation of China（11172240）；Aeronautical Science Foundation of China（2014ZA53002）

V211．3

A

1000－6893（2017）01－120102－12

http：／hkxb．buaa．edu．cn hkxb＠buaa．edu．cn

10．7527／S1000－6893．2016．0145

2016－01－22；退修日期：2016－02－18；录用日期：2016－05－12；网络出版时间：2016－05－12 12：48

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160512．1248．002．html

国家重点基础研究发展计划 （2015CB755800）；国家自然科学基金 （11172240）；航空科学基金 （2014ZA53002）

＊通讯作者 ．E－mail：lijieruihao＠163．com

张露，李杰．基于RANS／LES方法的超声速底部流场数值模拟［J］．航空学报，2017，38（1）：120102．ZHANG L，LI J．Numerical simulations of supersonic base flow field based on RANS／LES approaches［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2017，38（1）：120102．

（责任编辑：李明敏）

＊Corresponding author．E－mail：lijieruihao＠163．com