动轴理论及其应用1)--理论力学札记之十

梅凤翔

(北京理工大学宇航学院力学系，北京100081)

动轴理论及其应用1)
--理论力学札记之十

梅凤翔2)

(北京理工大学宇航学院力学系，北京100081)

动轴理论是指用相对动轴系的运动来列写质点或刚体的动力学方程的理论.动轴系可以固连于刚体上，也可以不固连于刚体上.动轴理论给出的方程，有时是方便的.

动轴理论，质心运动定理，相对质心的动量矩定理

1 对任意动轴的运动方程

研究刚体的一般运动.令 C为刚体的质心，Cx′y′z′为正交的动轴系.令 u,v,w 为质心速度在这些轴上的投影；θ1,θ2,θ3为动轴系 Cx′y′z′的角速度在这些轴上的投影；令ω1,ω2,ω3是刚体绝对角速度在这些轴上的投影；F′x,F′y,F′z是作用在刚体上的外力的投影；M′x,M′y,M′z为外力对质心的矩在这些轴上的投影.运动方程有形式[1]

其中T为刚体的动能，有

其中m为刚体质量，A,B,C,F,G,H为刚体对质心的惯性矩和惯性积.

由矢量相对导数和绝对导数的关系，对任意矢量A有

其中 ω 为动系角速度.令 A 为动量，A =(mu,mv,mw), ω =(θ1,θ2,θ3)，由质心运动定理可导出方程(1)的前3个方程；令A为对质心的动量矩

则由相对质心的动量矩定理可导出方程(1)的后3个方程.方程(1)虽用动能表示，但实际上是质心运动定理和相对质心的动量矩定理给出的方程.

如果动轴系与刚体固连，则有

而方程(1)成为

方程(2)的后3个方程即为刚体定点运动的Euler动力学方程.

方程 (1)实际上是准坐标下的 Lagrange方程[1]，其中 u,v,w,ω1,ω2,ω3是准速度.方程 (2)的前3个可用来研究质点相对地球的运动.

2 动轴理论的应用

动轴理论可应用于建立质点和刚体的运动方程.

例1 质点的运动微分方程

首先，列写质量为m的质点在极坐标(ρ,ϕ)中的方程.取动轴 Cx′沿经向，Cy′沿横向，Cz′垂直于平面，C为质点所在位置，动系角速度为θ1=θ2=0,θ3=，则有

方程(1)的前3个给出

即

其次，列写质点在自然轴系中的微分方程.取动轴系 Cx′y′z′，其中 C 为质点所在位置，Cx′沿切向，Cy′沿主法向，Cz′沿副法向，则动系角速度为θ1=θ2=0,θ3=.点的速度为

方程(1)的前3个给出

即

这样用动轴理论列写了质点的运动微分方程.

例2 刚体平面运动动力学方程

在刚体质心C上选一动系Cx′y′z′与刚体固连.刚体平面运动的运动学条件为

将其代入方程(2)，得到

平面运动加力的限制为

代入式(4d)和式(4e)，得到

这表明轴 Cz′是主轴，即中心主轴.式(6)是对刚体质量分布的限制.刚体平面运动的动力学方程为

在一些理论力学教材，也包括我们编写的教材中，通常将动力学方程写成形式其中动系Cx1y1z1是平行于定系的动系，而很少讨论平面运动对刚体的质量分布的限制.近年与洪嘉振教授、王琪教授讨论，方知除运动学条件(3)，力的条件 (5)，还应有质量分布条件 (6).当然，条件(6)是由条件(3)和条件(5)导出的.

例3 一刚体在平面Π上有3个接触点A,B,D，其中A,D是两腿在平面Π上的支点，可自由滑动，B是固连于刚体上的刀片.试列写刚体的运动微分方程.

解：首先，用动轴理论.假设外力向点E简化为一个力F，它垂直于刀片，距刀片为a和一个力偶矩Mϕ，如图1所示.约束力FN垂直于刀片，限制刚体横滑.设刚体质心在平面Π上的投影为C，而CB垂直于刀片方向，在点C处取与刚体固连的动轴系 Cx′y′z′，其中 Cx′平行于刀片，Cy′在BC方向上，Cz′垂直于平面Π，Cz′为刚体的主轴.动轴系的角速度为 θ1=θ2=0,θ3=ϕ˙.质心C的速度在动轴系上的投影为

其中(x,y)为点B的坐标.方程(1)给出

图1

因Fx′=0，由第一个方程得到积分

即

表示不允许横滑的非完整约束方程为

代入积分得

这个积分的物理意义是刚体对动轴 Cx′的动量守恒[2].

进而,假设外力的合力FR与过点B的铅垂轴相交,则方程(4)给出

其中α为合力FR水平投影与Cx′的夹角.由第1,第3个方程消去FR,得到

积分得

它表示刚体对过点B的铅垂线轴的动量矩守恒[2].其次,用刚体平面运动动力学方程,有

由前两个方程消去F+FN,得

又

于是有

考虑到非完整约束,上式可写成形式

由此得到积分

最后，用带乘子的Lagrange方程.刚体动能为

广义力为

约束方程为

带乘子的Lagrange方程给出

比较方程(8)∼方程(10),可知动轴理论给出的方程较简单.

例 4 一半径为a的匀质重球在通过球心C的合力作用下,在完全粗糙水平面Π上滚动.试证球心的运动如同一质点在力为5:7作用下的运动.

证明 首先，用动轴理论建立运动方程.在球心 C 处取动轴系 Cx′y′z′,其中平面 Cx′y′水平,轴Cz′铅垂向上.取定轴系Oxyz,其中平面Oxy在过球心的水平面上,Oz铅垂向上.点C的坐标为r,θ,如图2所示.点C的速度为

图2

动轴系的角速度为

方程(1)给出

其中,F,F′,FN为平面对球体的反力,为合力的分量.

表示球滚动的非完整约束方程为

由方程(11)消去力F,F′,得到

利用约束消去˙ω1,˙ω2,得到

其次,用对固定系的质心运动和相对质心的运动定理.质心运动方程为

因

代入方程(12)前两个,得到

它们与方程(11)前两个一致.

最后,用非完整系统的方程,若用Chaplygin方程,需引用 Euler角,列写方程是很复杂的.若用Boltzmann--Hamel方程也很复杂[3].

文献[1,3-4]用动轴理论解了一些滚动问题,如一个球在固定球面上的滚动,一个球在动球上的滚动,一个球在铅垂正圆柱内壁上的滚动,平面上的滚盘等.对这些问题,若用非完整动力学的方程反而显得笨重.20世纪80年代一次会上，吕茂烈先生曾说过，用理论力学方法研究非完整力学有时是方便的.他的话很有道理.

3 结论

(1)动轴理论给出的方程(1)，尽管是用动能表示的，而实际上是由对动轴系的质心运动定理和相对质心的动量矩定理给出的方程.

(2)动轴理论给出的方程(1)都包含约束力，因此这个理论应属于理论力学范畴.

(3)动轴理论可用于建立质点和刚体，质点系和刚体系的动力学方程.

(4)动轴理论在解一些非完整动力学问题，如滚动问题，冰刀问题等，如果动轴系选得适当，会显示优越性.

1 Whittaker ET.A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.4th Ed.Cambridge:Cambridge Univ Press,1937

2 梅凤翔.关于动量守恒律和动量矩守恒律.力学与实践,2003,25(1):56-58

3 梅凤翔.非完整系统力学基础.北京:北京工业学院出版社,1985

4 Routh EJ.The Advanced Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies.6th Ed.New York:Dover,1905

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2)E-mail:meifx@bit.edu.cn

梅凤翔.动轴理论及其应用--理论力学札记之十.力学与实践,2017,39(5):479-483

Mei Fengxiang.Moving axes theory and its application.Mechanics in Engineering,2017,39(5):479-483

(责任编辑:胡 漫)