原子力显微镜探针振动的简化模型分析1)

丁文璇 刘运鸿 魏 征

(北京化工大学机电工程学院，北京100029)

原子力显微镜探针振动的简化模型分析1)

丁文璇 刘运鸿 魏 征2)

(北京化工大学机电工程学院，北京100029)

为对原子力显微镜(atomic force microscope,AFM)的微悬臂梁进行定性动力学特性分析，建立AFM微悬臂梁的简化模型，探讨AFM探针的受迫振动.通过理论计算得出AFM探针简化模型的运动方程，并得到振动波形，证明了AFM实际应用中的对称问题和“频漂”问题，并发现AFM简化模型的间歇式碰撞现象.用负弹簧模拟探针针尖与样品之间的长程引力，并通过理论计算探讨长程引力对AFM测量的影响.

原子力显微镜，轻敲模式，受迫振动

随着科技的不断发展，人类对微观世界的探索也越来越深入.传统光学显微镜已无法满足人类的需求，原子力显微镜(atomic force microscope,AFM)应运而生[1].相对于一般测量表面形貌的方法，AFM具有精度高、不破坏样品、局域性强的优点[2].AFM 以针尖与样品之间的相互作用力作为成像信号，并且对样品的要求也较低，已在实验室和工业部门中大量使用[3]，例如生物大分子的观察与测量，涂料表面粗糙度测定，超薄薄膜的观测，复合材料和纳米材料界面的研究等[1].虽然原子力显微镜的应用越来越广泛，但对原子力显微镜本身，尤其是对原子力显微镜微悬臂梁动力学特性的研究仍在继续.本文即对AFM的微悬臂梁在扫描过程中做受迫振动过程建立简单模型，并对其进行理论分析.

1 AFM的轻敲模式

AFM的扫描方式有接触模式、非接触模式和轻敲模式三种[34].接触模式是指在扫描过程中探针一直与样品接触，这样会造成样品的损伤.非接触模式要求在扫描过程中探针保持在样品上方一定高度，这种扫描方式由于探针与样品没有接触，作用力信号较弱，实验要求较高.

随后就提出了轻敲模式 (tapping mode)，这种模式介于接触与非接触之间，其驱动与反馈方式都和非接触模式相同，但在一个振动周期内，探针要与样品接触一次[5].这种扫描方式既满足了作用力足够大的要求，又不至于损伤样品[2,6].

原子力显微镜由计算机控制系统、光敏探测器、压电装置、探针和光源等组成.以轻敲模式为例，AFM的工作原理可简述为：压电装置(由压电陶瓷构成)在高频电压信号激励下驱动探针 (由微悬臂梁和针尖组成)振动，针尖与样品靠近或接触时，针尖与样品间相互作用力(范德华力、静电力、毛细力等)会使微悬臂梁的振幅、频率和相位发生变化.光敏探测器检测到的激光信号偏移量随之发生变化，此信号经过计算机控制系统处理并反馈控制压电装置，及时调整激励输入信号，使微悬臂梁上下移动，微悬臂梁在扫描过程中的振幅、相位、频移等能很好的表征样品表面信息，这就是轻敲 AFM的基本工作原理.

2 AFM轻敲模式简化模型

2.1 质量弹簧阻尼系统建模

AFM 微悬臂梁在空气中的振动可以看作是悬臂梁受位移激励的强迫振动[4].微悬臂梁的振动分析可用连续系统模型，固定端(压电管端)受位移激励Dsinωt，ω为激振频率.探针的振动振幅大于针尖与样品之间的距离，保证一个周期内敲击样品一次，如图1(a)所示.

图1 AFM轻敲模式模型

一般情况下输入位移的激振频率接近于微悬臂梁的一阶固有频率，可以将其简化为单自由度振动系统，如图1(b).微悬臂梁是一弹性元件，在小变形情况下，其弹性系数可以用常量k1来代替，故微悬臂梁振动可以用质量弹簧系统来模拟.实际微悬臂梁自由振动时的阻尼来自空气阻尼和材料内阻尼，在轻敲过程中，还包括接触分离能量耗散，用图1(b)中的阻尼器c表示.振动方程为[7]

其中，m 为微悬臂梁的等效质量，k1为自由端刚度.方程 (1)即为图 1(b)所示模型的振动微分方程. 方程 (1)中，Fts为针尖与样品间相互作用力，将 Fts作泰勒展开，取一阶近似，Fts=F0+为平衡位置Fts的值，令F0=0.Fts是一个复杂的力，它可能是范德华力、毛细力、静电力，也有可能是弹性力等[8]，因此是一个变化的量[9].对于实际情况，将Fts考虑成库伦排斥力，探针--样品间作用的库伦排斥力相对于探针振幅是短程力，因此在一个振动周期内，Fts仅在一个有限的区域起作用.取实际上是排斥力的力梯度.实际情况中，k2是一与针尖位置有关的函数，方程为非线性运动方程，求解难度很大，因此取为常数.用弹性系数为k2的弹簧来表示Fts，如图2所示.

图2 AFM轻敲模式简化模型

2.2 质量弹簧阻尼模型计算

上弹簧上端连接的平板受到激励振幅为D的正弦激励，下端连接一质量为m的质量球.下弹簧固定，距离质量球的距离为 h.平板受到的位移激励用xf来表示；平板和质量球之间的相对位移用x1来表示；质量球相对于下弹簧的位移是绝对位移，用x表示，且认为弹簧自然长度时质量球的质心位置为原点.在质量球未与下弹簧碰撞时，即第一阶段，其绝对位移等于相对位移与激励位移之和.当质量球不与下弹簧接触时，相对位移的表达式为

绝对位移x为

方程(2)的解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解.解方程(2)、(3)可得

其中，下标i为第i次碰撞.在AFM轻敲模式开始前，微悬臂梁已经进入稳态振动，因此当质量球距离弹簧较远时，质量球已经开始振动，但随时间的增加，通解部分逐渐耗散掉，即质量球已经处于稳态振动，c1,1=c1,2=0.所以，此时不需要考虑定解条件.

质量球一直按照式(4)运动，当质量球下降距离超过h时，质量球与下弹簧接触.质量球除受到正弦激励外，还受到两个弹簧的弹力作用，故质量球与弹簧碰撞阶段的运动方程为

解方程(3)和(5)可求得质量球的运动方程

方程(2)的解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解.但可以看到，x=h是相邻两个方程的连接点.由于质量球的运动是连续的，故当质量球运动到x=h时，相邻两个方程的位置x和速度x˙的值相等.由此条件，得到两个连续性条件，再代入数据，方程(4)和方程(6)中的ci,1,ci,2,ci,3,ci,4即可解出，便可以得到完整运动方程.认为上弹簧自然长度时质量球的位置为平衡位置.质量球在脱开下弹簧后，向上弹起至平衡位置，依旧按第二个方程运动直到第i+1次与弹簧碰撞.碰撞瞬间又可由位置、速度相同列方程解得ci+1,1和ci+1,2，如此往复循环.

由于方程较为复杂且含有未知积分常数，为了能够直观地分析结果，对上述振动系统元件赋予数值，赋值对象有位移激振振幅、频率、球样品间距等等.为计算方便，取质量球质量为1kg，上弹簧系数为10000N/m，则由固有频率计算公式得固有频率为100s−1，为了使振动响应幅值能比较大，一般取激励频率为固有频率的95%，故取激励频率ω=95s−1.取激励位移幅值D 为0.005m，将数据带入方程(4)，并令ci,3=ci,4=0，令阻比值c=0可得无阻尼下质量球的运动方程，x=0.0513sinωt.此时振动的振幅为0.0513m，为了更加有效的分析碰撞后的振动趋势，h取为振动振幅的 60%，故取h=0.03m.分别取阻尼 c为 0,2,5,10N·s/m，计算后图形趋势基本类似，而在本文章中并不考虑阻尼的影响，因此取c=2N·s/m.各计算参数如表1所示.

表1 计算所用参数

以 k2=15000N/m的情况为例，取第一次碰撞，计算方程(4)和方程(6)中的未知积分常数，可得运动曲线如图3所示.以质量球向下运动的方向作为 x轴的正方向.为显示方便，将碰撞前稳态振动通过平衡位置时作为计时零点.

图中接触线即为 x=h，每次运动至此位置控制方程便发生变化.以质量球向下运动的方向作为正方向，故图中质量球碰撞发生在横坐标之上.

图3 第一次碰撞的运动曲线

2.3 质量弹簧阻尼模型计算分析

为了能直观地观察质量球连续运动的过程，连续计算多次碰撞的振动波形，并将其合成一条振动波形图，如图4所示.

图4 多次碰撞的运动曲线

由图4可以看到，质量球在发生碰撞后振动幅值会发生逐渐减小的情况，减小到不与弹簧碰撞的某个值后，质量球的振动幅值又会逐渐增大直到再次发生碰撞而后重复此种情况.质量球在与弹簧接触时达到最低高度，与质量球在无弹簧一侧回弹的最高高度基本相同，即此运动关于平衡位置是对称的.在一原子力显微镜的操作手册中曾经提到，当微悬臂梁的振动振幅大于针尖与样品之间的距离时，针尖在运动到最低点时会与样品碰撞.一般会认为这种情况下针尖的运动轨迹将会出现削波情况的正弦曲线，但实际的运动轨迹依旧是一正弦曲线，只是振幅减小了.针尖在其运动的最低点轻触样品表面，并且它的运动轨迹依旧是对称的[10].计算结果证明了这个结论.

3 不同k2值对质量球运动的影响

原子力显微镜一般用于形貌测量，被测量的样品也是多样的，其中更是包括一些生物材料.不同样品对针尖的作用力不同，因此在相同的实验条件下，AFM微悬臂梁的振动也有所不同.在我们的模型中，用k2来表征样品对针尖的弹性力及相互作用力的大小，故使用图2所示模型，使用表1中的参数，只改变k2的值，用方程(4)和方程(6)计算运动轨迹，研究k2值对质量球运动的影响.计算结果如图5所示.

图5 不同k2值的运动曲线

由图5我们可以看到，随着k2的增大，振动波形的最高峰值在不断的向左移动，这种现象称为“频漂”.在实际的原子力显微镜使用中，也出现了“频漂”的现象.当质量球与弹簧k2接触时，质量球的运动频率发生变化，k2越大，质量球的运动频率就越高，最终导致“频漂”的发生.

4 AFM轻敲模式负弹簧模型

4.1 负弹簧模型的建立

原子力显微镜利用分子之间的相互作用力达到形貌测量的目的，分子间的相互作用力既有吸引力，又有排斥力.排斥力可以用弹簧来模拟，比较简单，而吸引力比排斥力小，故在之前的模拟中忽略了吸引力.为了让模拟更加贴近实际，我们设法在模型中模拟出吸引力.文献[11]提到一种模拟吸引力的方法，即在模型中加入弹性系数为负值的弹簧.k3为吸引力的梯度，与2.2节中的库伦排斥力相同，为了降低求解难度，将k3取为常数.在2.1节模型的基础上进行模拟，模型如图6所示，由于模型较为复杂，不考虑阻尼.

图6中，k3是负弹簧的弹性系数，h1是自然状态时负弹簧与质量球之间的距离，由于分子间的吸引力相对于排斥力是长程力，故取h1，且h1＜h.

4.2 负弹簧模型计算

与无阻尼的质量弹簧一样，质量球的绝对位移x等于相对位移x1与位移激励xf之和.当质量球未与任何弹簧接触时，质量球的运动方程与方程(2)相同，但由于负弹簧模型相对较为复杂，因此在复弹簧模型计算的过程中忽略阻尼，c=0.质量球继续向下运动，当h1＜x＜h时，质量球与吸引力弹簧碰撞，质量球的相对运动方程为

当位移 x超过 h时，质量球与两个弹簧均碰撞，此时质量球的相对运动方程为

质量球与两个弹簧接触后，继续向下运动，到达最低点后回弹，继续向上运动到x=h时与排斥力弹簧脱开，此时的运动方程也为方程(7)；质量球与排斥力弹簧脱开后继续向上运动，直到吸引力弹簧也脱开，此时的运动方程为方程(2).由于几个阶段的初始条件不同，故即使运动控制方程相同，解得的位移表达式也不同，解方程(7)、(8)及式(2)可得负弹簧模型的绝对位移的几个方程

其中，j表示第j次碰撞.方程(9)和方程(11)虽然形式相当，但由于其初始条件不同，导致方程的未知常数不同.为了更好地描述质量球的运动阶段，将其列为两个方程.同样，为了能够直观地分析结果，对上述振动系统元件赋予数值，使用表1中的参数.为了计算方便，取k2=10kN/m，h1=0.02m.

利用x=h,x=h1是相邻两个方程的连接点这一条件，方程(9)∼方程(12)中的未知积分常数即可解出，从而得到完整的运动方程.同理，第一次碰撞前，微悬臂梁已经处于稳态振动，因此碰撞前的方程为方程(12)稳定振动部分，即c1,7=c1,8=0.吸引力与排斥力相比，不仅其值较小，且其随相对位置的变化程度也没有排斥力剧烈，因此梯度k3的取值较小，取k3=−2kN/m，计算第一次碰撞，可得振动如图7所示.以质量球向下运动的方向作为正方向.

图7 第一次碰撞运动曲线

4.3 负弹簧模型计算分析

为了能直观的观察质量球连续运动的过程，并分析不同弹性系数负弹簧对运动的影响，分别取k3为0,−1kN/m,−2kN/m，连续计算多次碰撞的振动波形，并将其合成一条振动波形图，如图8所示.

图8 多次碰撞的的振动波形

由图8我们可以看到，加入负弹簧后，依旧发生质量球碰撞后振动幅值逐渐减小又逐渐增大的情况.同时，也满足基本的对称运动情况.与无阻尼的简单振动规律相符.吸引力弹簧弹性系数绝对值越大，振动振幅越大.

5 结论

本文利用原子力显微镜简化模型模拟轻敲模式下针尖的运动状态，用质量弹簧阻尼系统来简化原子力显微镜的微悬臂梁，并利用质量弹簧阻尼系统的运动来模拟微悬臂梁在轻敲模式下的运动.通过对响应波形的分析，印证了原子力显微镜微悬臂梁运动的对称性.通过对不同k2值的计算得到了“频漂”的现象，并且发现原子力显微镜的针尖在运动过程中的间歇碰撞现象.建立负弹簧模型，用负弹簧模拟原子力显微镜与样品接触时的吸引力，发现负弹簧模型与质量弹簧阻尼系统存在相同的运动趋势，可以证明原子力显微镜微悬臂梁运动的对称性.并印证了负弹簧的刚度系数对质量球运动的影响，只改变负弹簧刚度系数k3时，没有发生“频漂”的现象，且随着负弹簧刚度系数k3的减小，振动波形的最大振幅基本保持不变；最小振幅随着k3减小而增大，可以说针尖和样品间的吸引力越大，探针的振动振幅变化越平缓.本文的研究为之后原子力显微镜的探针动力学分析提供了参考.

1 白春礼,田芳,罗克.扫描力显微术.北京:科学出版社,2000

2 徐金明,白以龙.原子力显微镜形貌测量偏差的机理分析及修正方法.力学学报,2011,43(1):112-121

3 Giessibl FJ.Advances in atomic force microscopy.Reviews of Modern Physics,2003,75(3):949-983

4 肖增文,赵学增,李洪波.AFM轻敲模式中微悬臂振动的研究.振动与冲击,2006,25(5):183-185

5 陈少勇,魏征.原子力显微镜轻敲模式下由液桥引起的能量耗散.力学与实践,2015,37(5):585-589

6 邵继红,吴昆裕.间歇模原子力显微镜扫描探针的受迫振动解.湖南工业学院学报,2002,22(1):59-61

7 倪振华.振动力学.西安:西安交通大学出版社,1988

8 中国科学院沈阳自动化研究所.基于纳米扫描探针形变的微作用力建模方法:中国,ZL200410050540.7.2006-4-5

9 Garc´ıa R,Perez R.Dynamic atomic force microscopy methods.Surface Science Reports,2002,47(6):197-301

10 Imaging and Spectroscopy Application Guide.2011.Asylum Research

11 Sebastian A,Salapaka MV,Chen DJ,et al.Harmonic and power balance tools for tapping-mode atomic force microscope.Journal of Applied Physics,2001,89(11):6473-6480

SIMPLIFIED VIBRATION MODELS FOR AFM PROBE1)

DING Wenxuan LIU YunhongWEI Zheng2)
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)

The simplified models of the AFM(atomic force microscope)probe are proposed for a qualitative analysis of dynamic characteristics of the AFM.The forced vibration of the probe is analyzed on the basis of the simplified models.The motion equations are derived based on the models and the wave modes of the AFM probe are obtained by a theoretical calculation.The symmetry problem and the frequency drift are con firmed in the calculation,as consistent with the AFM tests.Meanwhile,an intermittent collision phenomenon is found in the simplified models.The effect of the long-range attractive force on the AFM probe is simulated through a negative spring model.

atomic force microscope，tapping mode，forced vibration

O647.6

A

10.6052/1000-0879-17-094

2017-03-22收到第1稿，2017-05-12收到修改稿.

1)国家自然科学基金(11572031)和非线性力学国家重点实验室开放基金资助项目.

2)魏征，博士，副教授.E-mail：weizheng@mail.buct.edu.cn

丁文璇,刘运鸿,魏征.原子力显微镜探针振动的简化模型分析.力学与实践,2017,39(5):449-454 Ding Wenxuan,Liu Yunhong,Wei Zheng.Simpli fi ed vibration models for AFM probe.Mechanics in Engineering,2017,39(5):449-454

(责任编辑:周冬冬)