广义拓扑中的半层空间和函数插入

胡星宇，燕鹏飞

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

广义拓扑中的半层空间和函数插入

胡星宇，燕鹏飞

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

引入了μ-半层空间的概念，给出了μ-半层空间的若干刻画，且从函数插入角度给出了该类空间刻画.

广义拓扑；广义g函数；μ-半层空间

匈牙利数学家Á.Császár在1997年提出了广义拓扑空间的概念[1]. 作为经典一般拓扑学的推广，广义拓扑理论近年来得到了快速发展，很多一般拓扑学的重要概念被应用于广义拓扑理论.

Á.Császár在文献[2-3]中分别引入了广义分离公理、广义紧等广义拓扑性质. 最近，M.M.ARAR[4]引入了广义可数亚紧的概念. 由于广义度量空间类在拓扑学理论中占有重要的地位，一个自然的问题是：如何将一些重要的广义度量空间（包括层空间和半层空间）推广到广义拓扑中？本文将在广义拓扑中引入具有半层结构的空间，并讨论它们的相关性质，以期得到一系列与半层空间相对应的结论.

1 预备知识

定义1[4]1设X是一非空集合，如果X的子集构成的集族μ满足下面两个条件，那么称μ为X上的广义拓扑，(X,)μ称为广义拓扑空间.

1）∅∈μ；

2）μ的任意多个元素的并属于μ.

令β⊂exp(X)和∅∈β，如果μ={∪β′∶β′⊂β}，那么β被称作μ的基，我们也可以说μ是通过β生成的. 如果X∈β，那么广义拓扑空间(X,μ)被称作μ-空间. 如果X的子集B∈μ（XB∈μ)，则B被称作μ-开集（μ-闭集），μc表示X的全体μ-闭集构成的集族. 所有包含点x∈X的μ-开集都将用μx表示，用公式表达就是μx={U∈μ∶x∈U}.

定义2[4]1设(X,μ)是μ-空间，X被称作μ-T1空间. 如果对任意x,y∈X(x≠y)，都存在Ux∈μx和Uy∈μy使y∉Ux和x∉Uy.

定义3[5]设(X,μ)是广义拓扑空间，R是赋予通常拓扑的实直线.f∶X→R是广义上半连续函数（广义下半连续函数），若对每一a∈R集合{x∈X∶f(x)＜a}({x∈X∶f(x)＞a})是μ-开集.

对广义拓扑空间X，用R(X)代表X上所有的广义实值函数. 我们将X上广义下（上）半连续函数的集合写作GLSC(X（)GUSC(X)). 映射φ∶R(X)→R(X)称为单调算子，若对h1≤h2有φ(h1)≤φ(h2).

2 主要结果

首先我们引入μ-半层空间的概念.

定义4μ-空间X被称作μ-半层空间，如果存在映射ρ∶ℕ×μ→μc满足：

1）对于U∈μ和n∈ℕ，ρ(n,U)⊂ρ(n+1,U)且∪n∈ℕρ(n,U)=U；

2）对于任意U,V∈μ，如果U⊂V，那么对于所有的n∈ℕ都有ρ(n,U)⊂ρ(n,V).

定义5设X为μ-空间，函数g∶ℕ×X→μ称为X上的广义g函数，如果对x∈X和n∈ℕ，x∈g(n+1,x)⊂g(n,x).

本文中，对于A⊂X，记g(n,A)=∪x∈Ag(n,x). 下面分别利用广义g函数和μ-闭集列给出μ-半层空间刻画.

定理1对于μ-T1空间

X X，下列陈述等价：

1）X是μ-半层空间；

2）X有广义g函数满足：对X的点x及序列{xn}，若x∈g(n,xn)，则xn→x；

3）存在函数G∶ℕ×μc→μ满足：i）；ii）L⊂F⇒G(n,L)⊂G(n,F)；iii）对于任意F∈μc和n∈ℕ都有G(n,F)⊃G(n+1,F)成立.

证明由DeMorgen法则易知1）⇔3），这里只需X是μ-空间即可，下证2）⇒3）.

设g∶ℕ×X→μ为广义g函数. 定义G∶ℕ×μc→μ使对每一F∈μc有G(n,F)=∪g(n,x)，则显然

x∈F有G(n+1,F)⊂G（n,F)，且若L⊂F，有G(n,L)⊂G(n,F).

下证F=∩G（n,F)，由于F⊂∩G(n,F)，我们只需要证明∩G（n,F)⊂F. 如果不成立，则存在x∈∩G（n,F)-F，这样有xn∈F使x∈g（n,xn)，由条件2知xn→x，这和F是μ-闭集矛盾.

3）⇒2）. 设G是满足条件3的函数. 对每一x∈X，令g(n,x)=G(n,{x})，则x∈g(m+1,x)⊂g(m,x)，因此g是X上的广义g函数. 设x∈g(n,xn)，U是x的一个开邻域，由于x∉X-U，故存在m使得x∉G(m,X-U)，这样，当k≥m时，有xk∈U成立，否则，g(k,xk)⊂G(k,X-U)⊂G(m,X-U). 这与x∈g(k,xk）矛盾，故xn→x.

定理2对于μ-空间X，下列陈述等价：

1）X是μ-半层空间；

2）存在一算子U，将每一递减的μ-闭集列(Fj)j∈ℕ对应到一个递减的μ-开集列U(n,(Fj))n∈ℕ，满足如下性质：i）对于每一个n∈ℕ，都有iii）若(Fj)j∈ℕ和(Ej)j∈ℕ是两个递减的μ-闭集列，满足对于每一n∈ℕ，有Fn⊇En，则U(n,(Fj))⊇U(n,(Ej)).

证明1）⇒2）. 设G是给定的满足定理1条件3的算子. 对于给定的递减μ-闭集列(Fj)j∈ℕ，令则Fn⊂U(n,(Fj))，因此i）成立. 对每一个所以又因为Fn⊂U(n,(Fj))，所以所以这样ii）成立. 由定理1易知，若Fn⊇En，则U(n,(Fj))⊇U(n,(Ej))，iii）成立.

2）⇒1）. 设U是满足条件2的算子，定义使G(n,F)=U(n,(Fj))，这里对每一j∈ℕ，Fj=F，则G满足定理1的条件3，因此X是μ-半层空间.

最后，我们利用上述定理刻画给出μ-半层空间和函数插入之间的联系.

定理3设X是μ-空间，则下列等价：

1）X是μ-半层空间；

2）存在单调算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)使得对每一h∈GLSC(X)，都有0≤φ(h)≤h成立，而且当h(x)＞0的时候，φ(h)(x)＞0.

证明1）⇒2）. 取任意的h∈GLSC(X)，令，则是递减μ-闭集列，由定理2存在递减μ-开集列使得且现构造如下的广义函数，令：

则gh(x)∈GUSC(X)，定义算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)使φ(h)=gh，对任意的x∈X，当x∈X-U(1,(Fj)),h(x)=1. 又因为φ(h)(x)=1，所以φ(h)(x)=h(x). 当x∈U(n,(Fj))-U(n+1,(Fj))，此时此时h(x)=0，所以φ(h)(x)=h(x). 这样0≤φ(h)≤h，由于又因为所以φ(h)(x)≤h(x）. 当因此当h＞0时，φ(h)＞0.

下面验证φ的单调性，设h1,h2∈GLSC(X)且h1＜h2，则对每一个j∈ℕ，都有成立，在这里根据定理2，对于每一个n∈ℕ，都有成立.若存在n0∈ℕ使（在这里令），则这样若则φ(h1)(x) =0，因此φ(h1(x))≤φ(h2(x)). 综上所述，φ是满足条件2的单调算子.

2）⇒1）. 设算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)满足条件2，对每一递减的μ-闭集列{Fj}j∈ℕ，定义广义下半连续函数h(Fj)∶X→R如下：

据假设所知，φ（h(Fj))是满足条件1的广义上半连续函数，令则U将每一递减μ-闭集列(Fj)j∈ℕ对应到一个递减μ-开集列(U(n,(Fj))n∈ℕ，下面验证U满足定理2的条件2.

i）对每一n∈ℕ，若x∈Fn，则因此，故x∈U(n,(Fj))，这样Fn⊂U(n,(Fj)).

iii）设两个递减的μ-闭集序列（Fj)j∈ℕ和(Ej)j∈ℕ满足Fn⊇En，则这样φ(h(Fj))≥φ(h(Ej))，由定理2知X是μ-半层空间.

本文结论不仅能丰富和完善广义拓扑理论，而且对更深层次理解层型结构有着重要的意义.

[1] CSÁSZÁR Á. Generalized open sets [J]. Acta Mathematica Hungarica, 1997, 75(1-2)∶ 65-87.

[2] CSÁSZÁR Á. Separation axioms for generalized topologies [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2004, 104(1-2)∶63-69.

[3] CSÁSZÁR Á.γ-compact spaces [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2000, 87(1-2)∶ 99-107.

[4] ARAR M M. On countablyμ-paracompact spaces [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2016, 149(1)∶ 50-57.

[5] YAN Pengfei, YANG Erguang. Semi-stratifiable spaces and the insertion of semi-continuous functions [J].Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2007, 328(1)∶ 429-437.

[责任编辑：熊玉涛]

Semi-stratifiable Spaces and the Insertion of Function in Generalized Topology

HU Xing-yu, YAN Peng-fei
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the concept ofμ-semi-stratifiable spaces is introduced, and some characterizations ofμ-semi-stratifiable spaces are obtained. Finally, we characterize this kind of spaces from the insertion angle of functions.

generalized topology; generalizedg-function;μ-semi-stratifiable spaces

O189.1

A

1006-7302（2017）04-0001-04

2017-07-11

国家自然科学基金青年科学基金资助项目（11526158）

胡星宇（1991—），男，安徽合肥人，在读硕士生，从事一般拓扑学的研究；燕鹏飞，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事一般拓扑学的研究.