地震作用下粘弹性边界边坡模型处理方法★

郄禄文 许璐璐 陶佳骥

(河北大学建筑工程学院，河北 保定 071002)

地震作用下粘弹性边界边坡模型处理方法★

郄禄文 许璐璐 陶佳骥

(河北大学建筑工程学院，河北 保定 071002)

针对两侧高度存在差异的岩土边坡问题，采取Plane82标准单元体来模拟岩体边坡，并在所截取矩形区域外围施加粘弹性边界，随后在对称模型的计算条件下，截取地震记录包含峰值在内的前10 s历程，将应力时程作为荷载输入，分析地震波在岩石边坡中的传播。结果显示，针对拥有粘弹性边界的边坡稳定性提出的模型处理方法简单易行且计算结果合理可靠。

地震作用，边坡，对称性，粘弹性边界

在固定边界条件下，当地震波于边坡两侧传入、传出时，在介质边界上将出现反射波，在地震波输入界面上会阻碍地震波的传播作用，在地震波输出界面上地震反射波将在边坡内部出现惯性力，将对稳定分析的最终结果产生持续的影响。而在粘弹性界面条件下，由于岩石边坡模型稳定性的低频特性，会对岩石边坡的稳定性分析结果产生明显影响。LYSMER等[1]在粘弹性界面配置了粘滞阻尼器，考虑了介质的蓄能作用却忽视了其外力取消后的恢复作用。DEEKS等[2]建议利用粘弹性边界针对所有频率的岩土边坡都具有较好的稳定性，模型计算分析将会得到较为精确的结果。

在工程的应用中，粘弹性边界对于形状规则如矩形、弧形的地基有着较准确的计算结果，而对于拥有不对称边界的边坡模型却将得到错误的结果。因此，本文针对边坡模型提出一种简单易行且计算结果可靠的计算方式。

1 粘弹性边界单元参数选取

当垂直人工边界底边界入射地震波后，经过一段时间传播后到达地表，会以反射波的形式在地球表面或岩体底界面处再次返射回岩土地基，并引起地表结构的振动，该振动也会反射回地基中进行传播。在这种情况下，地基中3种形式的波同时存在，即自由场入射波、反射波以及次生场散射波[3]。

为模拟地震波在实际岩石边坡中的波动传播规律，要保证波在传入、传出人工边界时与原连续介质拥有一致的传播特性，不存在反射效应，而被人工边界全部吸收，地震波在岩石边坡中发生完全透射。为消除地震波的反射，将弹簧与阻尼器设置在人工边界上。在该边界完全吸收散射波的前提下，这种构造的粘弹性人工边界的弹簧刚度与阻尼系数，可基于柱面或球面的散射波场来确定[4]。

在无限介质中模拟地震波的传播，为了消除边界上散射波的反射，并保证波的传播方式在人工边界处和不存在人为截取边界的真实情况非常接近。基于粘弹性法向、切向人工边界应力，假设在某半径处截断介质，在粘弹性边界切向和法向分别设置线性弹簧和粘性阻尼器。

2 地震荷载的输入方式

对于地震等来自无穷远处的外源波动，采取波场分离法。该方法假设地震产生的自由波场与连续介质产生的散射波场共同叠加形成边坡模型两侧边界的振动波场，而边坡模型底边界的波场则是由入射波场与散射波场叠加而成，并将地震波输入问题转化为波源问题。这里作用在人工边界上的地震荷载将采用等效荷载法计算[5]。

假设，对于来自任意方向的入射波u0(x,y,t)，人工施加在边界上的位移与应力分别为u(xB,yB,t),σ(xB,yB,t)，其在模型人工边界上产生的位移为u0(xB,yB,t)，应满足：

u(xB,yB,t)=u0(xB,yB,t)

(1)

σ(xB,yB,t)=σ0(xB,yB,t)

(2)

现将应力fB(t)作为地震荷载于人工边界输入，分离弹簧—阻尼器与边界的联系，可得到人工边界上点的应力关系：

fB(t)=σ(xB,yB,t)+fB′(t)

(3)

代入弹簧和粘性阻尼的物理关系可得：

fB(t)=σ0(xB,yB,t)+CBu0′(xB,yB,t)+KBu0(xB,yB,t)

(4)

上式表明，作业在粘弹性边界上的荷载分解成两部分：在边界处自由场引发的振动力和边界克服弹簧变形与阻尼力。因此，设置了粘弹性边界条件下的位移时程更符合实际情况。

3 算例

如图1所示的计算模型，由于两侧面积不相等，模型两侧所受的合力不等，在0.29 s以后高低两侧面的合力出现偏差，这种差异随着地震波向上传播并在顶面发生反射后逐渐增加，最终模型的计算结果偏向一侧[5]。如图2中A为低侧面所受的合力变化，B为高侧面所受的合力变化。

因此，在计算中采用形式上对称的计算模型，在相同的地震荷载作用下得到两侧立面的合力变化。对于如图1所示边坡模型，选择Plane82标准单元来模拟岩石边坡，其单元长度尺寸为5 m，阻尼比系数为0.05。通过模态计算分析，岩石边坡第一阶和第二阶振动频率分别是0.112 2和0.091。将粘弹性人工边界设置在所截取的矩形区域边缘，人工边界参数列于表1。对于DP型的岩石边坡模型，其主体材料为材料1，边坡上部覆盖岩块为材料2，两种材料的参数值见表2。

表1 人工边界参数表

表2 岩体材料参数值

地震过程的全程加速度时程曲线如图3所示。地震记录为包含峰值在内的前10 s历程，以0.01 s为时间间隔，共采集1 001个加速度记录。边坡模型设置的粘弹性人工边界属于应力边界条件，在荷载输入之前，对加速度记录中各点进行拉格朗日二次插值，并对插值公式进行2次积分，将地震过程中的加速度记录需要转变为相应速度与位移时程，如图4所示。

于地基底边界与两侧边界输入应力时程模拟地震波作用在岩石边坡中的传播，并选取危岩体与地表上两点，在前文截取的10 s地震波作用下分析两测点的位移时程，最后两点位移时程与边坡两侧面合力时程分析结果如图5，图6所示。

可见，危岩体顶点的最大位移约为11.0 cm，坡体对地震波具有明显的放大作用。值得注意的是，最大地表位移绝对值将比底部地震入射波幅值大一倍以上(见图5)，其主要是入射波与反射波在自由边界处共同叠加的影响。由于这种入射波在地表的放大作用，因此在对岩石边坡模型进行时程分析时，应将作为响应输入的地震波减小至原来的1/2，获得的模型地表震动波形和地震产生的波形大致相同。结果表明，在粘弹性人工边界前提下，采取地震作用以应力时程形式输入模型，模拟结果与真实的地表运动基本一致。并且由合力时程曲线可知，两侧立面在运动过程中受力大致相等。

4 结语

本文针对两侧立面高度存在差异的岩石边坡模型，采取Plane82标准单元来模拟岩体边坡，并在所截取矩形区域外围施加粘弹性边界，随后在对称模型的计算条件下，截取地震记录包含峰值在内的前10 s历程，将应力时程作为荷载于两侧边界与地基底边界输入，数值模拟地震波在岩体中的传播。最后结合力的时程曲线可知，在对称模型的计算条件下，两侧立面合力时程趋于一致，在运动过程中模型整体受力平衡，只发生很小的偏移。因此，对于立面高度不等的边坡模型，采用对称的计算方式是合理的。

[1] LYSMER J,KULEMYER R L.Finite dynamic model for infinite media[J].Journal of the Engineering Mechanics Division,1969,95(4):859-878.

[2] DEEKS,ANDREW J,RANDOLPH,et al.Axisymmetric time-domain transmitting boundaries[J].Journal of the Engineering Mechanics Division,1994,1(25):733-739.

[3] 杜修力.工程波动理论与方法[M].北京：科学出版社,2009.

[4] 黄连娣.高混凝土拱坝的数值模拟及可靠度研究[D].大连:大连理工大学,2011.

[5] 谷 音.结构—地基动力相互作用问题高效数值方法研究及工程应用[D].北京:清华大学,2005.

[6] 蒋新新.复杂地基条件下粘弹性人工边界模型及其应用[D].大连:大连理工大学,2014.

Approachforslopemodelwithviscoelasticboundaryunderearthquakeaction★

QieLuwenXuLuluTaoJiaji

(CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,HebeiUniversity,Baoding071002,China)

For a model with different heights on both sides, applying a viscoelastic boundary to the boundary， rock mass with Plane82 unit was simulated. Under the condition of the symmetric model, seismic records in the bottom boundary and both sides were inputted to simulate the earthquake effect. By analyzing the force-time curve, it was showed that the model is mechanically balanced during motion. Therefore, for the asymmetric slope model, the symmetrical calculation method is more reasonable.

earthquake action, slope, asymmetry, viscoelastic boundary

1009-6825(2017)29-0069-02

2017-08-04 ★:国家自然科学基金项目(61374184)资助

郄禄文(1966- )，男，博士，教授

TU457

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