突破常规应用 拓展思维空间

周胜

导数的引入，给高中数学的学习注入了新的活力，然而对导数的应用，只是停留在常规求函数的极值或者判定函数的单调性上，大大束缚了我们的思维.因此，突破常规，拓展我们的思维空间就显得迫切而又必要.

“学起于思，思源于疑.”质疑，最能调动学生学习、思索、答问的积极性，发展学生的创新思维能力，使学生真正成为学习的主人.学生质疑能力的发展及培养，不仅有赖于知识和能力的基础，而且还要依赖于问题情境的创设.由学生自己发现问题，提出问题，再解决问题，从中得到成功的体验.学生的创造性思维是遇到要解决的问题时而引发出来的.问题是激发思维的起点，矛盾是推动思维发展的动力.问题设计得科学艺术，能激起学生动机，开阔学生思路，诱发求知的欲望，使学生的思维由潜伏状态转入活动状态，有利于发散思维的形成.

在数学解题过程中，当思维能力受阻时，我们可以对题目中的条件和结论与数学各分支中不同的数学知识、数学方法乃至兄弟学科或现实生活中的其他知识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，进一步改变问题情境，常能有效地使思路畅通，甚至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法.思维求变、求异，多向发散，拓展联想空间，促进信息迁移，使问题获得多种不同的解题途径，优化解法是决胜数学高考的一个不可缺少的思维策略.

下面是笔者在教学实践中总结出的其他应用，整理出来与大家共享。

一、函数不等式的证明

例1.证明：？坌x>0，有不等式■

证明：分别证明这两个不等式■

设f（x）=ln（1+x）-■，则f′（x）=■.对于？坌x>0，有f′（x）>0，从而函数f（x）在（0，+∞）严格增加，且f（0）=0，于是？坌x>0有f（x）=ln（1+x）-■>0，

即？坌x>0，有■

设g（x）=x-ln（1+x），g′（x）=■，对于？坌x>0，有g′（x）>0，从而函数g（x）在（0，+∞）严格增加，且g（0）=0，于是？坌x>0有g（x）=x-ln（1+x）>0.

即？坌x>0有ln（1+x）

综上所述，对于？坌x>0，有不等式■

二、立几中球面距离的证明

例2.在学习立体几何时有学生常常就问：为什么球面上所有连接两点的线中，经过大圆的劣弧的长度最短，而不是其他圆.

下面用导数的方法来证明这一问题.

证明：如图，圆O为过A，B两点的大圆，半径为R，圆O1为过A，B两点的小圆，半径为r，显然r

令∠AO1B=2x2，0<∠AO1B<？仔，则0

sinx2=■，即sinx1

欲证A■B■.

为此，构造函数f（x）=■，x∈（0，■），

则f′（x）=■，当x∈（0，■）时，有tanx>x，

即■>x，xcosx-sinx<0，

从而当x∈（0，■）时，f′（x）<0，所以函数f（x）=■在

x∈（0，■）上是减函数

由r■，即证结论.

三、一些恒等式的证明

例3.■-■-■+■+■=■

证明：设f（x）=■-■-■+■+■

则f′（x）=sinx·cosx（sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sinx·cosx（sin4x-sin2x·cos2x+cos4x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sin3x·cosx（-sin2x-cos2x+1）

=0.

故f（x）=C，由f（0）=■，即得C=■，由此即证.

四、求轨迹方程

例4.点A（0，4）是椭圆4x2+y2=16上的一点，过A作弦AB，求弦中点的轨迹方程.

解：设弦AB的中点M（x0，y0），对4x2+y2=16求导，有y′=-■，则由导数的几何意义可知，被点M平分的弦所在的直线的斜率为k=-■，又过点（0，4）和（x0，y0）两点的直线的斜率为kAM=■，由k=kAM即得所求轨迹方程为4x2+y2-4y=16.

总之，在适宜的土壤中运用适当的方法去培养高中学生的数学问题意识，有一定价值的问题会“不尽长江滚滚来”！它促使学生主动地、积极地、创造性地学习，从而发展学生思维，增强学生能力，提高学生的学习效果。

项目基金：甘肃省教育科学“十三五”规划2017年度《高中数学解题教学的实践研究》课题（课题网络审批号：BY2017_26）成果。

编辑 赵飞飞