基于EC法的风浪联合作用主塔-基础体系极限荷载效应

涂志斌，黄铭枫，楼文娟

(浙江大学 建筑工程学院结构工程研究所，杭州 310058)

基于EC法的风浪联合作用主塔-基础体系极限荷载效应

涂志斌，黄铭枫，楼文娟

(浙江大学 建筑工程学院结构工程研究所，杭州 310058)

针对基于Rosenblatt映射变换的极限状态曲线计算困难的现状，提出了多维随机变量极限状态曲线的简化算法。该算法通过寻找同时满足边缘分布、联合分布和可靠指标的变量估计值，将随机变量条件分布函数及其逆函数的求解转化为边缘分布函数的求逆，从而达到简化极限状态曲线计算的目的。以某跨海大桥桥塔-基础体系为工程实例，以涠洲岛海洋站风浪同步观测资料为环境变量统计资料，通过基于Copula函数的联合分布模型构造了风浪联合分布函数，根据简化算法计算了风浪极限状态曲线，利用EC法估计了桥塔-基础体系的基底剪力极限荷载效应，并与外推法的估计结果进行了比较。结果表明，基于简化算法和EC法的跨海大桥桥塔-基础体系基底剪力极限荷载效应具有较高的准确性。

极限荷载效应；极限状态曲线；风浪联合作用；EC法；Copula函数

跨海大桥在施工和运营过程中将承受复杂的、随时间变化的随机环境作用，主要包括风和波浪。为使结构在使用期内正常发挥预定功能，采用极限荷载效应进行结构设计十分必要[1-2]。

在极限荷载效应估计中，构造联合分布函数是考虑多维随机环境变量联合作用的有效方法。多位学者采用传统联合分布模型来构造多维随机环境变量的联合分布函数[3-7]。然而该模型要求变量服从同类边缘分布，相关关系采用Pearson线性相关系数表达，适用范围有限。基于Copula函数的联合分布模型弥补了传统联合分布模型的不足。该模型将边缘分布和相关关系分开考虑，不要求变量服从同类边缘分布，可描述任意相关关系，具有极强的灵活性，在多维变量联合分布函数构造中的应用十分广泛[8-15]。

在基于概率的结构设计方法中，外推法是多维随机环境变量联合作用下极限荷载效应分析的有效方法，具有较高的可信度和适应性，但需在环境变量分布范围内进行结构动力有限元分析，计算效率较低[16]。为提高极限荷载效应的估计效率，Winterstein等[17-18]在外推法的基础上提出了EC(Environmental Contour)法。EC法的核心思想是在具有指定超越概率的环境变量极限状态曲面上搜寻极限荷载效应及其对应的环境变量组合点，结构动力有限元分析只需在极限状态曲面上完成，效率大大提高。Haver等[19-23]利用EC法估计了多维随机环境变量联合作用下工程结构的极限荷载效应。然而在EC法中，极限状态曲面的估计依赖于环境变量条件分布函数及其逆函数的求解。当联合分布函数较为复杂时，条件分布函数及其逆函数的求解十分困难，极限状态曲面的计算难以实现，EC法的适应性较低。Montes-Iturrizaga欲根据Copula函数的性质提出极限状态曲面的简化算法[24]，但在推导过程中不恰当地利用了联合分布函数与Copula函数的关系。

为提高EC法的适应性，本文提出了极限状态曲面的简化算法。以某跨海大桥桥塔-基础体系为工程实例，以涠洲岛海洋站的风浪同步观测资料为环境变量统计资料，通过Copula函数构造了风浪联合分布函数，根据简化算法计算了风浪极限状态曲线，利用EC法估计了桥塔-基础体系的基底剪力极限荷载效应，并与外推法的估计结果进行了比较，讨论了EC法的适用范围。

1 基于Copula函数的联合分布模型

Copula函数是一种构造联合分布的工具，其优势是将变量间的相关关系与边缘分布分开考虑，能适应任意多维随机变量的联合分布分析。二维随机变量联合分布函数与Copula函数的关系为

F(s1,s2)=C[F1(s1),F2(s2),θ]

(1)

式中:F(s1,s2)为随机变量s1、s2的联合分布函数；C[·]为Copula函数；F1(s1)、F2(s2)为s1、s2的边缘分布函数；θ为二者的相关系数，能衡量随机变量间的任意相关关系。对式(1)等号两侧同时求二阶混合偏导，可得到联合概率密度函数f(s1,s2)与Copula函数的关系

(2)

在众多Copula函数中，同时满足以下两个条件的Copula函数称为最优Copula：①v1、v2能准确描述s1、s2的边缘分布特性；②θ能准确描述各随机变量间的相关关系。目前常用的最优Copula评价准则为AIC准则和BIC准则[26-27]。二者则均建立在Copula函数参数估计的基础上，表达式分别为

(3)

(4)

表1 常用的Copula函数Tab.1 Common Copula functions

2 基于EC法的极限荷载效应

2.1EC法的基本原理

EC法的核心思想是在超越概率为pE的环境变量极限状态曲面上搜寻极限荷载效应及其对应的环境变量组合点。与外推法在整个环境变量分布范围内完成结构动力有限元分析不同，EC法只需要在极限状态曲面上完成分析，计算效率大大提高。EC法有两个基本假定：①荷载效应极值的变异性可以忽略，②环境变量极限状态曲面为线性凸曲面。根据假定，超越概率为pE的极限荷载效应是相同超越概率下极限状态曲面上的最大荷载效应极值中位值。

本节仍以二维随机变量来说明EC法的基本原理和实施步骤，此时极限状态曲面退化为极限状态曲线。对于具有相关性的随机变量s1、s2，直接在物理空间中计算二者的极限状态曲线并不容易。根据Rosenblatt映射变换，具有任意相关关系的随机变量都可转换为标准正态空间中的独立随机变量，即

Φ1(u1)=F1(s1),Φ2(u2)=F2|1(s2)

(5)

(6)

式中:u1、u2为标准正态空间中相互独立的随机变量，服从标准正态分布；F2|1(s2)为s2的条件分布函数，与s2的边缘分布特性及s1和s2的相关关系有关。根据式(5)和式(6)，标准正态空间中的极限状态曲线u1-u2可转换为物理空间中的极限状态曲线s1-s2。若将s2看作主变量，s1看作条件变量，式(6)可改写为

(7)

理论上式(6)和式(7)是等价的，以s2为主变量、s1为条件变量不会改变极限状态曲线的估计结果。因此本节分析在式(6)的基础上展开。在标准正态空间中，极限状态曲线u1-u2为半径等于可靠指标βT的圆

(8)

βT=-Φ-1(PE)

(9)

式中,ω为角坐标。式(9)说明了可靠指标βT与超越概率PE的关系。

图1详细说明了风、浪联合作用下基于EC法的极限荷载效应lT的计算流程，包含4个主要步骤，如4个虚线框所示。①根据重现期T计算超越概率PE和可靠指标βT。②在[0,2π)范围内离散ω，离散点数为m；根据式(8)计算标准正态空间中的极限状态曲线离散点(u1,i,u2,i)；根据式(6)转换为物理空间中的离散点(ui,hi)。③调整随机数cj来完成离散点(ui,hi)处的随机流场同步模拟，包括脉动风速和随机波浪；生成随机荷载时程，完成结构动力有限元计算，并根据POT法提取荷载效应极值Lj。当k次结构动力有限元计算完成时，拟合Lj的分布函数，取分布函数值为0.5时的荷载效应极值为中位值Lm,i。④重复③直至i=m，在m个中位值Lm,i中寻找最大值，作为超越概率为PE的极限荷载效应lT。在该流程中离散点(ui,hi)的计算是难点。在EC法中，极限状态曲线上的结构动力有限元计算次数为k×m。为进一步提高极限荷载效应lT的估计效率并保证准确性，极限状态曲线的离散应遵循以下原则：在中位值Lm,i较大的区域加密离散点，在Lm,i较小的区域减少甚至不设置离散点。

图1 基于EC法的极限荷载效应lT计算流程Fig.1 Flow chart of extreme load effect lT based on EC method

一般而言，基于POT(Peak Over Threshold)的数据样本服从广义帕累托分布(Generalized Pareto Distribution，GPD)或三参数威布尔分布(Three-Parameter Weibull Distribution，W3P)[28]，二者的表达式分别为

GPD

F0,POT(lT)=1-(1-kglT/ag)kg≠0

F0,POT(lT)=1-exp(-lT/ag)kg=0

(10)

W3P

(11)

式中:ag、aw为尺度参数;kg、kw为形状参数;μw为位置参数。荷载效应极值分布函数F0(lT)与F0,POT(lT)的关系为

F0(lT)=[F0,POT(lT)]nPOT

(12)

式中,nPOT为荷载效应极值L的样本容量。

2.2极限状态曲线的简化算法

(13)

结合式(1)和式(5)有

(14)

图2 网格划分示意图
Fig.2 Grid meshing

3 工程背景

3.1风浪同步观测资料

(15)

式中:s=u、h;Fs(s)为边缘分布函数;μs为位置参数;σs为尺度参数。子样1、子样2的边缘分布参数拟合结果见表2。

表2 边缘分布函数的参数拟合值Tab.2 Fitted values of marginal CDF

从表1中选择最优Copula来构造子样1、子样2的联合分布函数。采用极大似然法估计Copula函数的参数，采用AIC准则和BIC准则选择最优Copula，结果见表3和表4。对于子样1、子样2，两种准则的评价结果一致，即Gaussian Copula为最优Copula，参数θ的拟合值分别为0.745 5、0.605 6。图3和图4为子样1、子样2的联合概率密度，符号Y表示考虑风浪相关性(θ≠0)，N表示不考虑风浪相关性(θ=0)。由图可知，子样1/2-Y的联合概率密度峰值大于子样1/2-N。根据Turkstra法则及其拓展[29-30]，子样1、子样2为所有样本的上下边界。因此基于子样1、子样2的极限荷载效应是基于其他样本的极限荷载效应的上下边界。

表3Copula函数的拟合参数、AIC及BIC：子样1
Tab.3Fttedparameters,AICandBICofCopulafunctionsofsubsample1

模型θ或θ/λAICBICGumbel-1.9982-13.8458-12.4785Frank-5.2697-11.2529-9.8856Clayton-2.0411-14.4579-13.0906Gaussian-0.7455-14.5385-13.1712t-0.6471/1.4007-13.8336-11.0990Galambos-1.2909-13.9756-12.6083HuslerReiss-1.8369-14.1997-12.8324

3.2桥塔-基础体系

某跨海大桥桥塔-基础为钢筋混凝土结构，混凝土

表4Copula函数的拟合参数、AIC及BIC：子样2
Tab.4Fittedparameters,AICandBICofCopulafunctionsofsubsample2

模型θ或θ/λAICBICGumbel-1.6187-6.4222-5.0549Frank-4.1293-6.7862-5.4190Clayton-1.1386-6.2017-4.8344Gaussian-0.6056-6.8906-5.5233t-0.6030/6.1884-5.4983-2.7637Galambos-0.8928-6.1899-4.8226HuslerReiss-1.2865-5.7686-4.4013

(a) 子样1-Y

(b) 子样1-N图3 子样1的联合概率密度函数Fig.3 JPDF of subsample 1

(a) 子样2-Y

(b) 子样2-N图4 子样2的联合概率密度函数Fig.4 JPDF of subsample

的强度等级为C40。桥塔为钻石型，高460 m，位于水面以上；桥塔89 m处设有4道高9 m、宽4 m的横梁；桥塔截面尺寸沿高度逐渐变化，其中x、y方向上塔底中心间距为28 m、40 m，塔底尺寸为20 m、16 m，塔顶尺寸为15 m、14 m；横梁以下塔腿内、外侧x方向上的倾斜度为5.70∶1、8.39∶1，y方向上的倾斜度为4.78∶1、6.21∶1，横梁以上塔腿内、外侧x方向上的倾斜度为15.46∶1、17.73∶1，y方向上的倾斜度为11.53∶1、10.95∶1。基础由沉井和承台组成，位于水面以下。沉井为大直径圆形沉井，直径90 m，井壁厚2.5 m；沉井内部x、y方向上等间距地设有5道厚度为1.5 m的隔墙；沉井顶部为承台，厚度7 m；泥面以上基础的总高度为50 m。借助ANSYS软件建立桥塔-基础体系的有限元模型，如图5。桥塔采用空间梁单元模拟，沉井和承台采用三维实体单元模拟，在桥塔和承台的接触面处建立刚性区域以传递自由度。沉井底部采用固定端约束。表5为桥塔-基础体系的前三阶模态信息。

表5 桥塔-基础体系的模态信息Tab.5 Mode shapes of bridge-tower system

图5 桥塔-基础体系有限元模型Fig.5 Finite element model of tower-basement system

4 基底剪力极限荷载效应

4.1极限状态曲线

(a) 子样1

(b) 子样2图6 子样1、子样2的极限状态曲线Fig.6 Limit state lines of subsample 1 and 2

4.2桥塔-基础体系的输入荷载

(a) 主变量

(b) 条件变量Hs图7 子样1平均风速和有效波高Hs离散点Fig.7 Discrete points of and Hs for subsample 1

(a) 条件变量

(b) 主变量Hs图8 子样2平均风速和有效波高Hs离散点Fig.8 Discrete points of and Hs for subsample 2

图9 脉动风速时程Fig.9 History of fluctuating wind speed: =47.4 m/s

(a) 塔腿部分

(b) 塔顶部分图10 桥塔阻力系数CDFig.10 Drag force coefficients CD of bridge tower

随机波浪的模拟参数见表6，Ts为有效周期，γ为谱峰因子。图11为模拟随机波面时程，此时Hs=10.8 m(T=100a、ω=18.75°，考虑风浪相关性)。作用在基础上的随机波浪压力可根据绕射理论计算。

表6 随机波浪模拟参数Tab.6 Simulation parameters of random wave height

在时域内完成桥塔-基础体系的动力有限元分析，桥塔的输入荷载为风荷载时程，基础的输入荷载为随机波浪压力时程，分析方法为完全瞬态法。根据DNV(Det Norske Veritas)[32]的研究成果，风浪联合作用时风向与波向的差异很小。跨海大桥所在地的气象资料显示，桥位处的常年风向以NW为主，与模型坐标y轴一致。因此风攻角和波浪入射方向均与y轴一致。

图11 随机波浪时程：Hs=10.8 mFig.11 History of random wave height: Hs=10.8 m

4.3荷载效应极值分布函数

根据IEC 61400-1的建议，离散点处的结构动力有限元重复计算次数取k=6，阈值取6条荷载效应时程的均值与1.4倍标准差之和。结合极限状态曲线的离散点数，本文共完成了k×m=150次有限元计算。

图12 基底剪力时程Fig.12 History of base shear force: =47.4 m/s、Hs=10.8 m

图13 荷载效应分布函数Fig.13 CDF of base shear force: =47.4 m/s、Hs=10.8 m

4.4极限荷载效应

图14为各离散点处荷载效应极值中位值Lm,i的变化规律。由图可知：①随离散点的变化，Lm,i无突变且变化轨迹为抛物线；②考虑风浪相关性时，各重现期下子样1、子样2的max(Lm,i)分别出现在ω=22.5°、78.75°；③不考虑风浪相关性时，各重现期下子样1、子样2的max(Lm,i)分别出现在ω=78.75°、84.375°。这表明极限状态曲线离散点的设置是合理的。为了进一步减小计算量，提高极限荷载效应lT的估计效率，离散点的分布范围和数量可进一步减少。

(a) 子样1

(b) 子样2图14 各离散点处的荷载效应极值中位值Lm,iFig.14 Medians Lm,i of peak load effect at discrete points

基于EC法的极限荷载效应lT将与基于外推法的lT进行对比。由于不引入任何假定，基于外推法的计算结果具有较高的可信度，可作为基于EC法的计算结果的对比标准。基于外推法的桥塔-基础体系基底剪力极限荷载效应lT的具体实现和计算结果参考涂志斌等[33]的文章。涂志斌等指出采用外推法估计lT时，风浪分布范围内的桥塔-基础体系动力有限元计算次数为432，而本文的计算次数为150。因此与外推法相比，EC法的计算效率显著提高。事实上，通过合理地设置离散点，桥塔-基础体系的动力有限元计算次数还可进一步降低，EC法的计算效率也可进一步提高。

(a) 子样1-N

(b) 子样1-Y图15 荷载效应极值中位值Lm,i的等值线：子样1Fig.15 Contours of peak load effect medians Lm,i: subsample 1

(a) 子样2-N

表8为各重现期下基于子样2、外推法和EC法的桥塔-基础体系基底剪力极限荷载效应lT，各符号的意义与表7相同。对表8进行分析可得到与表7类似的结论，不再赘述。对于子样1、子样2，极限荷载效应lT的计算结果并不相同。在实际工程中为了保证结构安全，应选择两者中较大的极限荷载效应进行结构设计。

表7 子样1的极限荷载效应lTTab.7 Extreme load effects lT for subsample 1 ×105 kN

表8 子样2的极限荷载效应lTTab.8 Extreme load effects lT for subsample 2 ×105 kN

5 结 论

针对基于Rosenblatt映射变换的极限状态曲线计算困难的现状，本文提出了极限状态曲线的简化算法，提高了EC法的可行性。根据简化算法和EC法完成了某跨海大桥桥塔-基础体系基底剪力极限荷载效应估计，并与外推法的计算结果进行了对比，得到了以下结论：

(1) 简化算法能有效的估计风浪的极限状态曲线；是否考虑风浪相关性对极限状态曲线有显著影响。

(2) 忽略风浪相关性使极限荷载效应的估计值偏小。

(3) 与外推法相比，EC法的计算效率显著提高。EC法的计算效率与极限状态曲线离散点的设置有关。为进一步提高EC法的计算效率，极限状态曲线的离散点可仅设置在使结构荷载效应较大的区域。

(4) 基于EC法的极限荷载效应略小于基于外推法的极限荷载效应，误差出现的原因是忽略荷载效应极值的变异性。为降低荷载效应极值的变异性，进一步减小基于EC法的极限荷载效应的估计误差，可适当提高统计样本的提取阈值。由于估计误差较小，基于EC法的极限荷载效应可直接用于工程结构设计。

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Extremeloadeffectsonabridgetower-basementsystemunderthejointactionofwindandwavebasedontheECmethod

TU Zhibin，HUANG Mingfeng，LOU Wenjuan

(Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

A simplified algorithm was developed to construct the limit state line of multi random variables, aiming at overcoming the difficulty in the construction of limit state line by Rosenblatt transformation. By searching the expected values of variables which can satisfy the marginal distributions, joint cumulative distribution and reliability index simultaneously, the calculation of conditional distribution function and its inverse function was turned to find the inverse function of marginal distribution, and thus the construction of the limit state line was simplified. Taking some bridge tower-basement system as an engineering example and the wind-wave simultaneous observation data at the Weizhou marine station as statistic samples, the joint cumulative distribution function of wind and wave was estimated by an Copula function, the limit state line of wind and wave was constructed by the proposed algorithm, and the extreme load effects of the base shear force were estimated by the environmenlal contour (EC) method and compared with those estimated by a statistical extrapolation method. It is demonstrated that the extreme load effects estimated by the EC method together with the simplified algorithm is highly accurate.

extreme load effect; limit state line; joint action of wind and wave; environmental contour method; copula function

TU411; TU472.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.019

交通运输部科技项目(2011318223170);国家自然科学基金资助项目(51578504)

2016-04-19 修改稿收到日期：2016-08-04

涂志斌 女，博士生，1988年9月生

黄铭枫 男，博士,副教授，博士生导师,1976年10月生