一类高阶常系数线性微分方程组的解法

征夏明

摘 要：在一般的微分方程理论中，对于高阶常系数线性微分方程组通常情况下采取待定系数的计算方法，即取指数函数形式的试探解代入，再求解它们的系数，计算较为复杂。本文中，将从线性变换和其共有的线性无关的特征向量的角度出发，用所有可能的线性无关的共同特征向量为基底构造待求方程组的解空间，从而给出一种常系数线性微分方程组的代数解法，与以往的方法相比，结构合理，并且计算较为方便。

关键词：微分方程 线性空间 线性变换 特征向量

中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）08（c）-0249-03

Abstract： Linear differential equations system with constant coefficients is usually solved by trial solution method. In this paper， with linear transform technique， an algebraic method of one kind of ODE systems is given.

Key Words： Differential equation；Linear space；Linear transform；Eigenvector

我们来讨论形如，这样s个方程构成的方程组。其可写成矩阵形式：

（1）

通常，人们寻找形如的s个未知函数，代入后求解。我们将采用另一种方法，在这之前，先给出关于方程（1）的一些性质。

1 性质

（2）

式（2）称作（1）的齐次导出组。若x（t）是（2）的通解，u（t）是（1）的一个特解，则x（t）+u（t）是方程（1）的通解。

我们先考虑方程组解的存在性和唯一性，这利用压缩映射原理可以证明结论i。

再分析齐次方程（2）解的性质和结构，n阶s元线性微分方程组有n×s个积分常数，解空间由n×s个线性无关的解构成。我们要求，方程中任意的，都满足对易式。可以证明方程中的系数矩阵都具有一组共有的特征向量。

证明：n=1时，，取的一组特征向量作为基底，时。矩阵乘法，得，如果没有简并，只要，，，也是对角矩阵，也是的一组特征向量。如果有简并，也就是存在一些特征值，与几个不同的特征向量对应，对每一个属于同一特征值的特征向量而言，对应的矩阵元一般不等于零。把属于同一特征值的几个特征向量进行各种线性组合的结果仍是该特征值的一组特征向量；从中总可以找出一组线性组合使对应的各个非对角矩阵元都等于零。由此可见，这样的情况下还是可以求得一套特征向量是，的共同特征向量。一个构造性的方法如下：定义集合是矩阵所在线性空间V的各个子空间，其维数，特征向量构成的向量组。在这样的基底中，相同特征值出现的次数就是重根的重数。。能够看出，此时矩阵是按对角分块的，只要将每个分块矩阵全部化为对角形式，最后也变成了对角矩阵。用同样的方法，将求出的一组共有特征向量进行线性组合，使之也是的一组特征向量。以此类推，最后求得的一组共有特征向量。进行这样的步骤，等价于将同时化为对角矩阵。

方程组中除了矩阵变换还有从0至n的各阶导数，导数运算是线性运算，并且各阶导数间的乘积运算当然是对易的，。因此集合中任意两个运算都是对易的。则利用上面得到的共有特征向量也可以构造出一组，的共有特征向量（构造方法将在第3部分给出）。

我们将方程组（2）改写成，

， 。假设存在，的共有特征向量顺序与相对应。此时的作用相当于一个常数的乘积。每一个确定的j可以解出共n个根， （3）。因此有n×s个，n×s个，共有的特征向量来构成方程（2）的通解。

用另一种方法表示上述关系，将全部同时对角化得即此时的是共有的特征向量，也是对角矩阵所在线性空间的基底。将看作基变换后的坐标，方程组（2）可写成：

再进行一次基变换，使也变换为对角的线性变换。，容易看出对于第j列一组确定的有n个根，得到s个方程本质和（3）式一样。

2 算法

我们给出方程组（1）的解法。

（1）找到的s个共有特征向量，即将同时对角化，这时存在有无简并两种情况，即矩阵的特征方程是否存在重根，I是单位矩阵。无简并时，一个特征值对应一个特征向量，共s个；有简并时，每个重根对应的若干线性无关的特征向量，根据谱定理，如果可以对角化则依然存在s个线性无关的特征向量，是所有重根对应的各特征向量。于是得到一组的共有特征向量。

（2）求解s个n次1元代数方程。此时也存在k有无重根的情况，若没有重根，令；若是m重根，则令。这样得到了n×s个线性无关的解向量。

（3）的线性组合就是齐次方程（2）的通解，是所选数域F中的n×s个任意常数。

（4）求（1）的一个特解，用常数变易法，取其第p个分量是的第k个分量。方程（1）可以写成张量方程代入得，求出带回u即得（1）的一个特解，实际计算中通常无法求出。

（5）令就是方程组（1）的通解。

值得一提的是，当s=1时方程（1）退化为：，是众所周知的n阶常系数线性微分方程。

3 例

求解。

解：写成矩阵形式为：

的特征方程是

代入后知，解方程

得。

所以方程的通解是：

事实上，这就是两个全同固有频率为ω0的一维系统以-αxy耦合的运动方程。

参考文献

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