“三数两差”中的典型问题分析

陈 学

“三数两差”中的典型问题分析

陈 学

在“数据的集中趋势与离散程度”这一章中我们主要学习了“三数”和“两差”，即体现数据集中趋势的“三数”——平均数、中位数、众数以及体现数据离散程度的“两差”——极差、方差.

一、平均数

平均数分为算数平均数和加权平均数.

平均数是描述一组数据的集中趋势的特征的数字，平均数的大小与样本的每一个数据都相关.它是一组数据的“重心”.

例1 节约用水、保护水资源，是全社会共同的责任，某校开展“节约每一滴水”活动，为了解一个月以来节约用水情况，从九年级的500名同学中选出20名同学统计了解各自家庭一个月的节水情况，见下表：

请你估计这500名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是____.

【分析】根据表格可求得所选出的20名同学平均每家一个月的节水量：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），所以500名家庭一个月节约用水的总量大约为500×0.325=162.5（m3）.

【答案】162.5m3.

（1）当f1=f2=…=fk=1时，即k=n时，加权平均数公式就是平均数公式.

（2）各数据的权改变，加权平均数也随之改变.

同学们不妨改变题中的数据试一试.

二、中位数

一般地，当将一组数据按照由小到大（或从大到小）的顺序排列后，处在最中间位置的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间位置的两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.

例2 一组数据27，30，29，28，30的中位数是____.

【分析】把这组数据从小到大重新排列为27，28，29，30，30，最中间的数为29，所以这组数据的中位数是29.

【答案】29.

例3 一组数据4，3，6，9，6，5的中位数是____.

【分析】把这组数据从小到大重新排列为3，4，5，6，6，9，最中间的两个数5和6的平均数为5.5，所以这组数据的中位数是5.5.

【答案】5.5.

【点评】（1）求中位数时，数据必须按序排列，如果数据的个数为奇数，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；

（2）中位数不一定是已知数据中的数（如例3，中位数是5.5，但不是原数据中的数）.

三、众数

一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数.一组数据中的众数可能有一个，也可能不止一个.

例4 某排球队12名队员的年龄如下表所示：

求该队队员年龄的众数.

【分析】由众数定义可知，数据19出现4次，次数最多，所以该队队员年龄的众数为19岁.

【点评】众数是“数”出来的，只要理解相关概念，问题不难解决.

四、极差

一组数据中，最大值与最小值之差称为极差，它能体现一组数据波动的范围.

例5 在演奏比赛中,某班8名学生成绩分别为80，80，85，90，90，90，90，95，则这8名学生成绩的极差是多少？

【分析】根据极差的定义，找出最大数与最小数即可求出极差为15.

五、方差

方差也是描述一组数据离散程度的量，它是各个数据分别与其平均数之差的平方和的平均数.在许多实际问题中，研究方差有着重要意义.

例6 某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加.按团体总分排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题：

（1）根据上表提供的数据填写下表：

（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级?简述理由.

【分析】（1）甲班优秀人数为3人，乙班优秀人数为2人，除以总数即得优秀率；将数据分别从小到大排列，即可得中位数；方差是各个数据分别与其平均数之差的平方和的平均数.

（2）理解各数据表达的意义即可解答.

【答案】

（1）

（2）应该把冠军奖状发给甲班.

因为两班的平均分相同，但甲班的优秀率比乙班高，比赛数据的中位数也比乙班大，同时甲班比赛数据的方差比乙班小，说明甲班的成绩比较稳定.

综合分析，甲班的成绩好，所以应该把冠军奖状发给甲班.

【点评】方差是衡量一组数据稳定性的重要因素，是测算数值离散程度的重要方法.

六、“三数”“两差”异同

平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数和中位数只有一个，而众数可能有几个；极差、方差都是描述数据离散程度的量.

平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用,但它受极端值的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关注的一个量，它不受极端值的影响，这是它的一个优势.中位数只需要少量计算，不受极端值的影响，在有些情况下这是一个优点.极差能够体现一组数据的波动范围.方差是衡量一组数据稳定性的重要因素.在实际应用中，需要根据具体情况，选择适当的量来分析.

（作者单位：江苏省宿迁市泗洪县第一实验学校）