透视概率考点 剖析中考真题

吴粉连

透视概率考点 剖析中考真题

吴粉连

中考是考查初中三年所学知识的最重要的考试，有些必考题会涉及九年级上学期学习的“等可能条件下的概率”.对于本章中的重要考点和难点，我们将通过对中考考题的解析一一呈现.

一、考点透视

1.常见题型：填空题、选择题、解答题.

2.考查内容：用列表法、树状图求概率；用概率评判游戏的公平性.

3.高频考点：

（1）突出对游戏公平试题的考查；

（2）突出对操作试验型试题的考查.

4.命题趋势：近几年中考中，选择题、填空题呈减少趋势，以解答题为主，总体趋向知识综合.

二、真题剖析

考点一 概率的计算

例1 （2015·淮安）某种产品共有10件，其中有一件是次品，现从中任意抽取一件，恰好抽到次品的概率是 .

【解析】因为从中任意抽出1件共有10种等可能的结果，其中抽到次品的有一种结果，则抽到次品的概率为

【点评】本题考查了等可能条件下的概率的计算，解题的关键是掌握概率的意义，列举出所有等可能的结果.

考点二 求概率的方法

知识点一：用列表法计算两步试验的概率.

例2 （2017·泰兴一模）有两个可以自由转动的转盘，被均匀地分成了三等份，并在里面标上数字，如图所示，分别转动两个转盘，当转盘停止转动以后，将两个指针所指的数字相乘（若指针停在等分线上，则重新转，直到符合条件为止），用列表法分别求出乘积是3的倍数和5的倍数的概率.

解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：

表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有5种，其概率为数字之积为5的倍数的有3种，其概率为.

【点评】一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多，为了不重复、不遗漏列出所有可能的结果，通常采用列表法分析所有等可能的结果，当结果要求进行数的和、积等运算时，用列表法显得更加清晰、明确.

知识点二：画树状图求多步试验的概率.

例3 （2015·常州）甲、乙、丙三位学生进入了争夺“校园朗诵比赛”冠军、亚军、季军的决赛.他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.

（1）求甲第一个出场的概率；

（2）求甲比乙先出场的概率.

【解析】（1）谁第一个出场共有三种可能，所以甲第一个出场的概率为

（2）用树状图表示出所有可能性，注意与丙的出场顺序无关.

解：（1）甲、乙、丙三位学生都有可能第一个出场，因此共有三种等可能的结果，所以甲第一个出场的概率为

（2）用树状图列出所有可能出现的结果：

共有6种等可能的情况，

其中甲比乙先出场的共有3种，

【点评】列表法适合于两步完成的事件，而画树状图适合两步或者两步以上完成的事件.

考点三 游戏中的公平性问题

例4 （2016·泉州）A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有2、4、6，B中两张分别写有3、5，它们除了数字外没有任何区别.

（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；

（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜，否则乙获胜，请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？

【解析】（1）根据概率的定义列式即可；

（2）画出树状图，然后根据概率的意义，分别求出甲、乙获胜的概率从而解决问题.

（2）由题意画出树状图：

一共有6种等可能的情况，甲获胜的情况有4种，乙获胜的情况有2种，

所以这样的游戏规则对甲、乙双方不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，首先要计算每个事件发生的概率，然后进行比较，概率相等就公平，否则就不公平.

【拓展】你能修改游戏规则，使游戏公平吗？

调整规则（答案不唯一）：

方法一：如果所选出的两数之和大于8则甲获胜，否则乙获胜；

方法二：如果两数之积为3的倍数，则甲得到1分，否则乙得2分.

【点评】在游戏规则不公平的前提下，要使游戏公平，修改规则主要从两个方面考虑：①使游戏双方获胜的概率相同；②采用得分法，使比赛双方得分相同.

考点四 操作问题

例5 （2015·镇江）活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球）

活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： → → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于 ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于 .

猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系.

你还能得到什么活动经验？（写出一个即可）

【解析】活动1：利用画树状图分析出所有等可能的结果，再利用等可能条件下概率的计算公式，可求出甲胜出的概率.

活动2：任意规定甲、乙、丙三人的摸球顺序，按活动1的方法求出各人胜出的概率.

猜想：根据前面两个活动，从得到的活动经验中推断这种不放回的摸球抽签是否公平.

解：用树状图列出所有可能出现的结果：

（1）以上共有6种等可能的结果，其中甲胜出的结果有2种，故P（甲胜）=

对三位同学规定一个摸球顺序（答案不唯一）：甲→乙→丙，则第一个摸球的甲同学胜出的概率为最后一个摸球的丙同学胜出的概率也等于

【点评】本题是一道求概率为主的实践活动题，同时也是规律探究题，解答本题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用树状图.

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）