排列组合解题技巧探究

谭哲友

1引言

高中的数学知识是基础数学，是数学大厦的根基，其中排列组合是独立的内容，也是重要的内容。在生产实践中，排列组合的知识也经常应用，比如，工作安排力的分工、选配等实际问题，用排列组合来解决将会得到更好的处理结果。

2排列组合的基本概念和计算公式

排列的定义：有n个不同元素，从中取出m个，按照顺序排成一列，叫做排列。

组合的定义：有n个不同元素，从中取出m个，组成一组，叫做组合。

排列数的计算公式：

[Amn=nn-1n-2…n-m+1=n！n-m！]

组合数的计算公式：

[Cmn=AmnAmm=nn-1n-2…n-m+1m！=n！m！n-m！]

3排列组合解题方法之插入法

如果在题目中有这样的特征，即题目涉及的几个元素不相邻，这时可采用插入法进行求解，具体做法是先将没有限制条件的元素进行排列，然后将有限制条件的元素按要求插入到排列好的列之间。

例 某次体育训练，一队共有3个女生和5个男生，要将这8个人排成一排，要求女生不允许站一起，必须全部分开，问一共有多少种不同的排列方法？

解：首先把没有限制条件的5个男生进行排列，共有[A55]种不同的排列方法，男生排列好之后，可发现，两个相邻男生之间有一个空位，5个人男生之间有4个空位，再加上5个男生左右两侧的两个空位，一共有6个空位，我们需要做的就是将6个空位中安排3个女生，有[A36]种排列方法，计算如下：[A55×A36=14400]。可知，一共有14400种排列方法。

4排列组合解题方法之转换法

如果题目中问题较难，则要进行转换，将难解决的问题转化为容易解决的问题。

例 大学一年级有8个班，根据学校要求，需要组织年级学生会，名额12人，要求每个班至少一个人，问有多少种不同的分法？

解：将问题进行转化：12个人进行排列，则12人之间有11个空位，每次从11个空位中取7个，这7个空位就把12人分成8组，每组代表一个班级，则达到题目的要求。所以一共有[C711]种分配方法。

5排列组合解题方法之对等法

如果题目中某些元素与另一些元素的意义相同，则那么可求其中一种情况就可以。

例 有6个人排队，甲排在乙前面，问有多少种排列方法？

解：排队时，或者甲在乙前，或者乙在甲前，两种排法一样多，则有[12A66]种排列方法。

6排列组合解题方法之递推法

如果题目中给定一定的排列规则，问n个元素如何排列，那么可以尝试借助数列递推求解。

例 有一条长方形的布，将其正面分为从左至右的五个长方形部分进行染色。现只有黄，绿，蓝三种颜色，要求布上三种颜色都要有，且相邻两个区域不能同色（否则就变为四个区域了），问共有多少种染色法？若分成六个部分呢？

解：假设分成n个部分有[an]种染色法，则[a3=A33]，每在右边（或左边）加一个区域，则分为两种情况：①增加区域的颜色不影响之前n个区域的颜色分布，这会有[2an]种情况；②增加的区域颜色是之前n个区域没有的，即前n个区域只有两种颜色交替分布，则有3×2=6种方式。

于是可以得到关系[an+1=2an+6]利用这个递推关系，[a5=42]，[a6=90]。所以分成五个和六个区域分别会有42，90种染法。

7總结

在排列组合的解题过程中，要灵活将问题进行转换。具体的解题技巧有插入法，捆绑法，转化法，对等法，排异法等，分类见表一。endprint