浅析三角函数最值问题常见解题方法

周心怡

1利用有界性求解三角函数最值问题

这类题型可以总结为形式为y=asinx+bcosx的三角函数。

解题思路：首先将上述函数转化为如下形式：

[y=a2+b2sin（x+φ）]

其中，tanφ=b/a

转化为一个三角函数厚，利用有界性进行求解，具体例题如下。

例 已知自变量x的取值范围为-π≤x≤π，求y=[3]sinx+3cosx的最大值和最小值。

解：将y=[3]sinx+c3osx进行变形，可得y=2[3]sin（x+π/3），根据已知的-π≤x≤π，所以转化后，[-23π]≤x+π/3≤[43π]。根据三角函数特性，可知：

当sin（x+π/3）=-1，则有x+π/3=-π/2，计算可得x=-5π/6，此时三角函数有最小值[ymin=-23]；

当sin（x+π3）=1，则有x+π3=π/2，计算可得x=π/6时，此时三角函数有最大值[ymax=23]。

2利用降次法求解三角函数最值问题

这类型函数的形式为：

y=[asin2x]+bsinxcosx+c[cos2x]

针对这类型问题，可以先降次、整理，转化为y=asinx+bcosx形式来求解最值。

例 自变量x的取值范围为-π/2≤x≤π/2，求y=[2sin2x]+4sinxcosx+6[cos2x]的最小值和最大值。

解：先进性降次和整理：

y=[2sin2x]+4sinxcosx+6[cos2x]=[22sin（2x+π/4）]+4

根据已知的-π/2≤x≤π/2，所以转化后，[-34π]≤2x+π/4≤[54π]。可知，取值范围包括整个象限。

由三角函数的特性可知，当sin（2x+π4）=-1时，[ymin=-22]+4，sin（2x+π4）=1时，[ymax=22]+4。

3利用转换法求解三角函数最值问题

这类型题目中函数的额典型形式为

[y=asin2x+bsinx+c（a≠0）]

针对这种函数，采用的解题策略是将函数化解为其他函数，结合有界性-1≤sinx≤1和-1≤cosx≤1，与其他函数特性来求解。最值一定存在于极值点或者封闭区间的端点。

例 求解函数y=[-8cos2x]-8sinx+12的最值。

解：

y=[-8cos2x]-8sinx+12=-8（1-[sin2x]）-8sinx+12=2[（2sinx-1）2]+2

因此：

sinx=1/2时，[ymin=2]；sinx=-1时，[ymax=20]。

4利用换元法求解三角函数最值问题

如果题目中只含有sinx±cosx，sinxcosx，求解这类题目的方法是换元法，具体例题如下。

例 求函数y=2sinxcosx+2sinx+2cosx的最大值。

解：令m=sinx+cosx，则有三角函数性质可知，[-2]≤m≤[2]，则

sinxcosx=[m2-12]

经过化解，可得：

y=[m2]+2m-1

m=[2]時，函数取最大值，此时[ymax]=[22]+1。

在求解这类问题时，要注意题目中是否有限制条件，根据限制条件的不同换元法也会受到限制，所以需要挖掘其中的隐含条件。

5利用不等式法求解三角函数最值问题

针对特殊的题型，可以采用均值不等式的方法来求解最值。均值不等式如：[a+b≥2ab]。

例 已知自变量范围0

解：y=4（1-sinx）（1-cos2x）=8[sin2x]（1-sinx）=8×4×1/2sinx×1/2sinx（1-sinx）≤32[（12sinx+12sinx+（1-sinx）3）3]

所以，[ymax]=32/27。

6总结

在解题过程中，要灵活三角函数的知识与其他函数相结合。面对这些结合类型题，要有清晰的解题策略，掌握好三角函数有界性、二次函数特性等隐含条件，敏锐发现题中所隐藏的信息，还要熟练掌握三角函数降次、整理、换元的方法，这是基本功，应该非常熟练。最后，还要掌握换元法，以便对难题进行转换求解，这样才能充分掌握三角函数最值求解的解题策略和解题技巧。