雷波
[摘 要] 陕西省西安铁一中刘康宁老师在《中学数学教学参考》2014年第4期(上旬)上发表的《三次函数零点的一组重要结论》一文,文中提出了三次函数零点的13个结论和1个推论,但其中的部分结论值得商榷,本文对值得商榷的部分结论给出了剖析和修正.
[关键词] 三次函数;结论;商榷;剖析;修正
陕西省西安铁一中刘康宁老师的《三次函数零点的一组重要结论》一文中,针对函数f(x)=x3+ax2+bx+c的零点提出了13个结论和1个推论,笔者通过对这些结论和推论的反复研读,认为该文中的结论2、结论3、推论、结论4、结论5、结论6的必要性成立,而充分性都不成立.
由于篇幅的原因,现只对该文中的结论2、结论3的证明给予剖析并对这些结论给出修正,而对于推论、结论4、结论5、结论6的剖析和修正可参照本文剖析和修正.
为了行文方便,先列出原文中的说明和结论1.
若不加说明,系数a,b,c均为实数.
结论1:函数f(x)=x3+ax2+bx+c至少有一个零点.
结论2:函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.
原文证明:由结论1知f(x)至少有一个零点,不妨设x0是函数f(x)的零点,则
f(x)=(x-x3)[x2+(x0+a)x+x +ax0+b].
从而,函数f(x)有三个零点的充要条件是方程x2+(x0+a)x+x +ax0+b=0有两个实根,则关于x的二次方程的判别式Δx=(x0+a)2-4(x +ax0+b)≥0.
即3x +2ax0-a2+4b≤0.①
关于x0的二次不等式①有实数解的充要条件是Δ =4a2-12(-a2+4b)≥0,即a2-3b≥0.
故函数f(x)有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.
剖析:当a=b=0时,显然满足a2-3b≥0,但此时函数f(x)=x3+c只有一个零点;
当a=c=0,b=-1时,显然满足a2-3b≥0,但此时函数f(x)=x3-x2=x2(x-1)只有两个零点.
那么问题出在什么地方?在上述原文的证明过程中,我们不难发现:
“函数f(x)有三个零点的充要条件是方程x2+(x0+a)x+x +ax0+b=0有两个实根”是不成立的. 现举特例说明如下:
设a=-x0,b=-x ,则方程x2+(x0+a)x+x +ax0+b=0變为方程x2-x =0,
而方程x2-x =0有两个实根都是x0和-x0.
所以方程(x-x0)[x2+(x0+a)x+x +ax0+b]=0有三个实根,但有两个实根都是x0,另一个实根是-x0.
所以,此时的函数f(x)=(x-x0)[x2+(x0+a)x+x +ax0+b]只有两个零点x0和-x0.
所以“函数f(x)有三个零点的充要条件是方程x2+(x0+a)x+x +ax0+b=0有两个实根”是不成立的.
从上面证明可以看出,方程x2+(x0+a)x+x +ax0+b=0有两个实根只能是函数f(x)有三个零点的必要条件,而非充分条件.
修正:函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点的必要条件是a2-3b>0.
结论3:若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点,则这三个零点均为正数的充要条件是a<0,b>0,c<0,且a2-3b≥0.
原文证明:由结论2知函数f(x)有三个零点的充要条件是a2-3b≥0.
设函数f(x)的三个零点为x1,x2,x3,则
x1+x2+x3=-a,?摇x1x2+x2x3+x3x1=b,x1x2x3=-c.②
下面证明x1,x2,x3>0的充要条件是a<0,b>0,c<0.
由②知,必要性是显然的,下面用反证法证明其充性.
假设x1,x2,x3不全大于0,则由x1x2x3=-c>0知x1,x2,x3必为一正两负. 不妨设x1>0,x2<0,x3<0,由x1+x2+x3=-a>0,得x1>-(x2+x3)>0. 于是
b=x2x3+x1(x2+x3) 这与b>0矛盾,故充分性得证. 综上所述,结论成立. 剖析:首先其证明的第一步就使用了充分性不成立的结论2:函数f(x)有三个零点的充要条件是a2-3b≥0. 由上对结论2的修正知,a2-3b>0只能是函数f(x)有三个零点的必要条件. 因此在此条件下,函数f(x)不一定有三个零点. 所以证明过程中:“x1,x2,x3>0的充要条件是a<0,b>0,c<0”也是不成立的. 其证明也是错误的.我们用特例说明如下: 取a=-4<0,b=5>0,c=-6<0,则函数f(x)=x3-4x2+5x-6, 即f(x)=(x-3)(x2-x+2),显然函数f(x)=x3-4x2+5x-6只有一个零点, 其方程(x-3)(x2-x+2)=0也只有一个实根,另两根是虚根. 因为虚根是没有正负,也不能比较大小的,所以原文用反证法证明其充分性中,假设x1,x2,x3不全大于0,以及由x1x2x3=-c>0知x1,x2,x3必为一正两负. 不妨设x1>0,x2<0,x3<0,都是不成立的. 修正:若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点,则这三个零点均为正数的必要条件是a<0,b>0,c<0,且a2-3b≥0.