高中数学实验，由“做”向“说”的演绎

苏旭

[摘 要] 数学实验成为新的促进学生构建数学知识的方式，经验与研究表明，数学实验不能只是“指令性操作”，数学实验需要学生在思维的牵引下去“做”，数学实验的过程与结果需要让学生用数学语言去“说”. 只有经历了由“做”向“说”的演绎，才能让学生对数学实验有深刻的认识，才能真正达到数学理解的境界.

[关键词] 高中数学；数学实验；做；说

这是一个注重体验的时代，因为只有体验才能让学生形成深刻的经验，也只有经验才能支撑起学生有效的学习（其实对于成人来讲，体验也是让人拥有更丰富知识与能力的重要途径），所谓的“不经一事，不长一智”的说法就是这个意思. 因此，教师从关注自身能力形成及学生有效学习的角度来看，注重体验是一个重要的选择. 对于教学来说，由于其需要在短时间内将人类长期积淀的文化知识进行传递，因此真正的体验机会并不是很多，而对于高中数学教学来说，由于学科特点与知识特征，能够直接体验的内容更是很少. 为了改变这一现状，人们将数学学习的方式投向了实验的方式，取得了不错的成果. 在对数学实验进行观察的过程中，笔者注意到数学实验在高中数学课堂上的存在还显得有些初步，很多时候因为没有把握好实验的实质与目的，而使得实验仅仅是“做”了一下，并没有让学生形成真正的数学理解，“经事”而不“长智”的情形在数学实验中并不少见. 而要改变这一现状，在笔者看来并不需要太“高大上”的招式，只要遵循不仅要“做”还要“说”的思路，就可以让数学实验向有效的方向再进一步.

用“做”构建数学实验的基础

既是实验，那肯定是要做的，但在对自然科学及其教学的研究中，笔者发现很多研究者都持一个观点，那就是实验不能是学生照着实验步骤亦步亦趋地做，因为那只是像机器人一样“指令性地操作”，而不是真正的“做”. 真正的做，应当是学生在自身思考的驱动下生成的一种肢体性动作. 在真正做实验的过程中，“做”只是一种外在行为，学生大脑中的思考才是最需要关注的地方.

例如，在“椭圆”知识的教学中，笔者注意到不少课堂甚至高级别的公开课堂上，教师都会给学生一些器材，如一个木板上钉着两颗钉子，一根长度超过两颗钉子距离的低韧性细线，一支记号笔等. 而在课堂上，教师则会明确让学生“将细线两端系在钉子上，然后用记号笔将细线拉直，并在木板上转动，留下转动的轨迹”. 学生在一番操作之后，教师便向学生提问：“我们得到了一个图形，大家说这个图形是什么啊？”在这种情况下，只要智力正常的学生都会猜测到教师的意图，于是便异口同声地说出“椭圆”也就是自然而然的事了. 这样的课堂，学生没有多余的行为，也不会出现错误的行为，而正确结果之后的异口同声还可以将课堂气氛推向高潮，于是教师、学生、听课者面前出现了一番热闹的场景. 课后有人评课，持“这个教学环节高效高能，没有浪费时间，是值得赞赏的”评价. 但笔者在想，这个过程中学生“做”了什么呢？他们又获得了什么呢？只要将这两个问题摆出来，这个教学环节的问题也就出现了.

因此，数学实验的“做”是需要深刻理解的，只有“做”能够为学生的数学学习奠定理解基础的时候，这个“做”才是有意义的. 同样，如在椭圆概念的教学中，笔者进行了这样的设计：第一步，只给出一个小木板和铅笔，让学生在上面画出自己所理解的椭圆的样子. 这是让学生利用自己的经验去构造对椭圆的初步理解，此时学生的生活经验会得到一定程度的改造，因为他们原来只认为只要把圆压扁了就可以得到椭圆，而真正要动手画的时候，他们会思考“多扁的圆才是椭圆”等问题，这样的思考奠定了兴趣基础与思维基础. 第二步，用视频播放木工师傅是如何用土办法得到椭圆的（具体如上例，不赘述）. 第三步，一个小组给出学生两颗钉子和一根细线，让学生确定好位置之后教师帮他们固定，然后让他们去模仿视频中的方法得到椭圆. 在实际教学中，学生会思考两个问题：一是钉子之间的距离是多少；二是细线该用多长. 而学生的选择往往是随机确定的（请注意，这里的随机是思考之后没有办法的随机，实际上是一种试错心理的运用）. 而实践之后，学生会发现不同的钉子间距与不同的线长，会得到不同的椭圆，于是他们会自发地与别的小组进行比较，还会自发地尝试第二次构造椭圆. 最后，当他们将两次构造的椭圆进行比较，并与最初用铅笔画出来的椭圆（其实这个时候已经知道它未必是椭圆）进行比较时，他们对椭圆的印象无疑深刻了许多.

在这个过程中，学生的“做”不是机械的“做”，而是在自己的思考下进行的探究式的“做”，进行的试错式的“做”. 在这个过程中，由于有了思维的参与，“做”也就有了更丰富的意义，从而为后面数学概念的形成奠定了坚实的基础.

用“说”升华数学实验的意蕴

在笔者的教学观念中，每一个数学概念或规律的得出，都应当是一个高贵而庄重的过程，因为数学发展史上，数学概念的形成本就有这样的意味，在数学课堂上如果让学生感觉到一个数学概念的来之不易，如果让学生感觉到数学概念得出之后有着巨大的作用，那这个过程自然是有意义的. 如果说数学实验为学生的“做”提供了机会，为学生的思维开拓了空间的话，那进一步的“说”就为学生从经验走向数学理论提供了宽阔的通道.

这里的“说”是指用数学语言来说，是指用数学语言去描述自己在数学实验中的所思、所想. 数学语言最大的特点就是概括性、精确性及简洁性，其用最少的字表达出最丰富的内涵，这是其他学科的语言所难以达到的一种境界. 在上面的“椭圆”实验中，学生经过“做”，已经形成了丰富的经验，但这个时候的经验还是比较初步的，他们知道椭圆的得出方式，但是他们肯定也知道，不能用“在两颗固定的钉子上系上一根细线，用记号笔绷紧后画出的图形就是椭圆”来定义椭圆. 教师应当知道，学生此时是已经有了这样的认识的，只是这应当界定为学生的生活语言而已. 要从生活语言向数学语言过渡，就需要学生形成运用数学语言的意识与能力.

关于运用数学语言的意识，教师可以作适当的指引：在刚才的实验过程中，我们已经亲身经历了一个得到椭圆的过程，那么大家不妨来尝试一下，如何将我们刚才的有形的数学实验抽象（加重语气）成一个简洁的数学过程呢？由于强调了要抽象，那很显然，下面的工作就是将数学实验中的钉子、细线等抽象成两个固定点、一个不变的距离，而所得到的椭圆就应当视作点的集合了. 到了这个时候，椭圆的定义就呼之欲出了.

需要指出的是，经过刚才的一段学习历程，学生思维中的印象就有两点比较深刻：一是自己的操作过程，也就是“做”的过程，这里教师要帮学生总结两个“做”的环节都比较重要，其一是徒手画椭圆（这个时候学生已经知道未必是椭圆了），其二是用标准方法画椭圆. 让学生对这两个“做”形成深刻的印象，有利于后面椭圆标准方程知识的学习. 二是用数学语言来定义椭圆. 由于不仅“做”了，而且“说”了，因此学生的思维就完成了动作技能向言语知识的过渡，就实现了操作经验向数学经验的升华. 这不仅让学生对椭圆的定义有了纯粹的数学的认识，还让学生的数学学习品质得到了提高，最起码的学生更清晰地认识到了只有用数学语言描述的内容才是真正属于数学的.

从“做”到“说”促进数学理解形成

从“做”到“说”，不仅是一个教学选择的问题，更是一个教学理念的问题. 为什么有教师只重视“做”，因为他们认为只要“做”了学生自然就会“说”了. 但事实上并非如此，在高中数学教学中，我们都是強调数学理解的，数学理解如何形成？不是教师的想当然，而是要经过学生缜密地思考.数学实验作为一种重要的学习方式，其“做”必须具有思考的意味，其“说”必须成为促进学生思考的一种方式. 每一次“做”都应当是学生思考进一步深入的机会，每一次“说”都应当成为学生进一步熟练运用数学语言的机会，只有这样才能达成数学理解.

如果在数学实验中多一点整体意识，还可以发现数学实验的“做”与“说”可以为下次学习奠定基础. 比如说上面的椭圆概念教学，就可以为椭圆的定义之后椭圆标准方程的学习提供契机. 在研究椭圆标准方程的过程中，笔者帮学生回忆曾经的数学实验，然后提问：自己徒手画的那个扁圆是不是标准的椭圆呢？于是这就涉及一个椭圆的判定问题，而由于前面已经有了其他圆锥曲线的学习，学生自然知道椭圆也应当存在一个标准方程. 在本知识的学习过程中，会发现此前的“说”与“做”，为学生建立椭圆标准方程发挥了多大的作用，当学生将“做”与“说”的结果迁移到标准方程形成的过程中时，那种殊途同归的数学理解过程，就是一段难得的高峰体验.

因此，数学实验是必须“做”的，但要形成数学理解，也要必须“说”的. 以“做”促“说”，以“说”引“做”，应当成为高中数学实验的基本思路.endprint