非奇异M矩阵的判定

许 洁

(吉林化工学院理学院，吉林省吉林市 132022)

非奇异M矩阵的判定

许 洁

(吉林化工学院理学院，吉林省吉林市 132022)

本文通过研究非奇异M矩阵的定义及其与广义严格对角占优矩阵间的关系，获得了一组非奇异M矩阵的实用判别条件，该判别方法避免了同类判别法中关于参数取值的讨论问题，直接利用矩阵元素间的关系对给定矩阵进行判定，进一步丰富了非奇异M矩阵的理论。

非奇异M矩阵；比较矩阵；对角占优矩阵；α对角占优矩阵

非奇异M矩阵最早是由美国数学家Ostrowski在1937年提出的，这个重要的矩阵类起源于矩阵计算中的迭代程序值收敛性质的研究[1].在计算数学和矩阵理论的研究中，有关非奇异M矩阵的判定准则及其应用是矩阵理论研究的热点[2-6]，同时由于矩阵间运算的复杂性，关于非奇异M矩阵的判定方法也成为人们研究的难点.本文利用非奇异M矩阵和广义对角占优矩阵之间的关系[5]，利用矩阵自身元素推导出关于非奇异M矩阵的判定条件，丰富了该领域的内容，并为矩阵论、控制论等相关领域的研究奠定了理论基础.

首先给出关于本文一些主要符号的说明.

关于非奇异M矩阵的等价表征是M矩阵理论的重要研究领域，Berman和Plemmons[2]汇集了众多关于M

矩阵的判定的研究方法.由于M矩阵的判定方法不同，关于M矩阵的定义方法也有很多种，首先介绍常用的M矩阵的定义.

定义1[1]设A=(aij)∈Rn×n，满足aii>0,aij≤0,j≠i.若A的所有顺序主子式均大于零，则称矩阵A是非奇异M矩阵.

在关于M矩阵的判定中，有一些判定准则是借助非奇异M矩阵与广义对角占优矩阵的关系给出的，下面给出广义对角占优矩阵的定义.

引理2[8]设A=(aij)∈Zn×n，且aii>0，若矩阵A的特征值实部均为正值，则矩阵A为非奇异M矩阵.

引理3 设A=(aij)∈Cn×n，B=M(A)+M(AT),其中M(A)为矩阵A的比较阵，若B是非奇异M矩阵，则M(A)为非奇异M矩阵，矩阵A为广义严格对角占优矩阵.

构造矩阵B=(bij)n×n=M(A)+M(AT)，由B是对称矩阵，设B具有如下分块形式：

进而若有Ni∩N0=∅，即Ni⊆N+时，注意到Bii=B(Ni)，即知必有Bii∈D，由文献[7]中定理1，当矩阵A∈Zn×n，自然有Bii∈D*.又因为Bii∈Zn×n且bii>0，故而B∈M，从而由引理3得A∈D*.再由aii>0且A∈Zn×n，则矩阵A为非奇异M矩阵.

而若Ni∩N0≠∅，则由假设知Ni∩N+≠∅.由题设条件知，对任意i∈N0∩Nσi，存在t∈N+∩Nσi,使得aii1ai1i2…aist≠0，则对i∈N0∩Nσi，同样存在t∈N+∩Nσi,使得bii1bi1i2…bist≠0，即Bii(1≤i≤k)已为非零元素链对角占优矩阵，即Bii∈D*.由Bii∈Zn×n且bii>0，故而B∈M，进而类似可得A∈D*，再由aii>0且A∈Zn×n，则知矩阵A为非奇异M矩阵.

[1]逄明贤.矩阵谱论[M].长春:吉林大学出版社,1990.

[2]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative matrices in the mathematical sciences[M].Society for Industrial and Applied Mathematics,1994.

[3]郭希娟,王常武,王永茂,等.非奇异M矩阵的判定及并行算法[J].高等学校计算数学学报,2001(4):357-362.

[4]刘建州,徐映红.非奇异M矩阵的判定及并行算法的注记[J].高等学校计算数学学报,2003(4):317-320.

[5]孙玉祥,吕洪斌.广义严格对角占优矩阵与非奇异M-矩阵的判定[J].厦门大学学报:自然科学版,2001(5):1011-1016.

[6]赵建兴.非奇异M-矩阵最小特征值的下界估计[J].吉林大学学报:理学版,2017(3):553-558.

[7]许洁,刘明姬,吕显瑞.广义严格对角占优矩阵的实用新判定[J].吉林大学学报:理学版,2014(4):740-742.

[8]游兆永.非奇异M矩阵[M].武汉:华中工学院出版社,1981.

TheCriteriaforNonsingularMMatrix

XU Jie

(College of Sciences, Jilin Institute of Chemical Technology, Jilin Jilin 132022,China)

In this paper, we deduce a set of criteria for nonsingularMmatrix by studying the definition of nonsingularMmatrix and its relation with the generalized strictly diagonally dominant matrices. This method avoids the discussion of the parameter in the same discriminant method, and the proposed methods directly judges the given matrix by the relation between the elements of the matrix, which enriching the theory of nonsingularMmatrix.

nonsingularMmatrix; comparison matrix; diagonally dominant matrix;α diagonally dominant matrix

O151.21

A

2095-7602(2017)10-0001-03

2017-06-23

许 洁(1980- )，女，副教授，博士研究生，从事矩阵代数研究。