良好的开端是成功的一半

刘荣军

新课标人教A版高中数学教材为每一章的起始课准备了较为丰富的教学内容——章引言和章头图.章引言通常是对本章所学内容、思想方法做一个简要的介绍，发挥 “先行组织者”的作用，章头图往往展示本章内容在科学技术中的应用，传播数学文化，起着“导游图”的作用。本文结合笔者自己在起始课方面作的一些教学尝试，针对不同的教学内容，就如何合理设计相应的章起始课，作些粗浅的探讨，力求发挥起始课在全章内容学习中的指南作用，促进学生对数学知识本质的理解，提高教学效率。望能引起同行的重视与共鸣。

一、设计一个探究过程，体验章节灵魂

高中数学有些章节的学习，带有过程性、整体性，需要学生通过参与对数学问题的探究，探讨研究方案，探索研究过程，体验、领会数学思想，才能达到整体把握全章的学习要求。

必修3《统计》一章主要介绍最基本的获取样本数据的方法，以及几种从样本中提取信息的统计方法，其中包括用样本去估计总本分布、数字特征和线性回归等内容。因此，对本章内容的教学，重点应在让学体会统计的基本思想方法，培养学生对原始的样本数据的处理能力。本章起始课的以下教学实录，笔者认为颇有新意，是恰当、合理的起始课设计。

《统计》起始课（一课时）教学实录：

环节一：交流与探讨

师：同学们，小学、初中我们了解了有关统计的基础知识。今天我们将进一步学习它。今天我们将通过对几个实际问题的讨论，来了解本章要学什么，怎么学。对每个问题，同学们要认真思考，可以与同学讨论，并积极发表的见解，希望同学们的思考与讨论能为本章内容的学习带来启发。

背景材料：据报道，北京第29届奥运会是转播规模最大的一次，有8.4亿中国电视观众收看了开幕式，有6.5亿中国观众观看闭幕式。

问题：8.4亿，6.58亿，这两个数据是怎么得来的？

学生1：调查了全国13多亿中国人得出来的。

师：就是说普查，其它同学有不同意见吗？

学生2：调查过你了吗？如果是普查，不可能这么快获得数据，一定是抽查。

师：你认为是怎么抽查的。

学生3：从上海、北京等大城市抽查，方便些。

学生4：不行，上海、北京是发达地区，电视机拥有率高，不能代表全国。

师：说得很好，如何使抽取的样本具有代表性是本章要关注的内容之一。

环节二：自主学习章引言

教师指导学生去看书：章引言和章头图，了解我国沙漠化土地面积，及其年扩展速度；我国淡水人均占有率在全界的排位；我国主要城市缺水量的条形统计图等。

师：这些数据的获得都依赖于普查和抽样调查。普查和抽样调查是统计的主要手段，并分析普查和抽样调查的利弊。

环节三：统计案例分析与解决策略探讨

案例：某大鱼塘养有某品种鱼。

问题1：你有什么办法知道池塘中鱼的产量吗？

学生讨论结果：需知道大约条数（总体的个体数），每条鱼的平均质量（总体的平均数）。

问题2：如何估计总体个体数？

由于这个问题较难，由教师提供解决方案：从鱼塘中随机地捞出m条鱼，并做上记号，重新均匀地投放回鱼塘。过几天，重新随机地捞出N1条。计其中有标记的鱼的条数为，鱼的总条数N，利用，可近似地估算出N，并说明m与要足够大。

问题3：如何估计每条鱼的平均质量？

学生：被抽取的鱼（样本）的平均质量当作所有鱼的平均质量。

师：很好，就是本章要学的“用样本平均数估计总体的平均数”。

评析：该教师不惜时间，肯花一课时在看似与第一节内容无关的教学内容之上，设计实际案例，让学生通过对案例问题的探究和解决，体验章节灵魂。其实，我认为它的收获并非某一节有具体教学内容的数学课所能比的。

二、勾画一条研究轨迹，展现章节蓝图

选修《数学1-2》的第三章“数系的扩充与复数的引入”的起始课设计：

环节一：勾画研究轨迹

回忆两次大的数系扩充的背景与过程（基于所学内容）

1.从整数集到有理数集。背景：1个苹果平均分给3个小朋友，为了能表示出每个小朋友分到苹果的数量。引入分数。整数集中添加了分数就成了有理数集。然后，定义了有理数集上的运算，并且使整数在整数集中的运算与在有理数集中的运算保持一致。

2.从有理数集到实数集。背景：为了使方程有解，引入了无理数，有理数集中添加了无理数就成了实数集。然后，定义了实数集上的运算，并且使有理数在实数集中的运算与在有理数集中的运算保持一致。

环节二：引出复数概念

由数学内部的矛盾x2+1=0在实数集中无解为认知冲突，引发对数集的范围进行扩充的必要性.

解决方案：先规定，从而引入虚数i，实数集R中添加i后，规定i可与实数可进行四则运算，于是新数集中便有等数。归纳：新数集中的数均可表示成形如的数。这样就建立了复数的概念，实现从实数集到复数集的成功扩充。

环节三：展现章节蓝图

介绍本章的主要学习内容：复数的几何意义、运算与运算律。

介绍复数的地位与作用。复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的.它在数学、力学、电学及其其他学科中都有广泛的应用.复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础.

这样的起始课设计，以知识的发生发展为线索，勾画出与本章知识相关的一条研究轨迹，展现章节蓝图，增强了学生学习复数的兴趣.

三、策划一类类比对象，借鉴研究手段

高中数学有些章节与以前所学章节在内容上具有类比关系。这些章节的起始课可以著眼于“向学生揭示两个类比对象间的类比关系，让学生借鉴研究手段”进行设计。例如立体几何既是平面几何的延续，在研究方法上又与平面几何有着类比关系。这一章起始课可以作如下设计：

环节一：学习章引言与章头图，提出课题。

经典的建筑给人以美的享受，你想知道它的奥秘吗？我们生活在现实的空间之中，现实的物体并不是“平面的”，而是空间几何体。本章将研究空间几何体的形状、大小、位置关系等，这就是立体几何。

环节二：分析类比、借鉴研究手段、明确研究方向

回顾平面几何的研究内容：平面图形（三角形、四边形、圆等）、平面的基本元素（点、线）及其相互关系。如直线与直线的位置关系，平行、垂直的判定与性质。介绍立体几何的研究内容：空间几何体、空间的基本元素（点、线、面）及其相互位置关系。如要学习直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的判定与性质。

四、创设一些实际背景，引出数学概念

有些章的核心数学概念有着现实背景，它的起始课应该着眼于“数学建模”的过程设计。如选修1-1《导数及其应用》的起始课设计：

环节一：自学章引言

学生通过自学章引言，了解微积分的发展史。教师指出导数是微积分的核心概念之一，引发“到底什么是导数”的悬念，激发学生的求知欲望。

环节二：创设实际背景，引出概念

创设实际背景：气球的平均膨胀率与瞬时膨胀率、高台跳水运动员的的平均速度与瞬时速度。抽象与概括：由瞬时膨胀率、瞬时速度提炼出函数的瞬时变化率，就是导数的概念。

环节三：探讨导数的几何意义，揭示导数应用。

探讨导数的几何意义。基于其几何意义，引介绍导数在研究函数的单调性、极值、最值等性质上有着重在的作用。

学生通过这样的起始课学习，既能了解导数知识的来龙去脉，又能理解导数概念的本质，特别是搭建了全章知识的框架。

五、建立一些数学概念，介绍章节引言

有些章引言的教学，涉及一些专业术语，需要建立一些必要的概念，并由此引发本章学习内容的话题.

以数学选修2-3A版中的第二章《随机变量及其分布》为例.先让学生了解随机变量概念产生的必要性一一为了用数学的方法研究随机现象，把随机试验的结果用一个数字来表示，即在随机试验的结果构成的集合与实数集合之间建立映射，把随机试验的结果数学化.这样一来，随机试验的结果发生的概率就与数学化之后的实数建立了一种函数关系，就可以运用数学的方法来研究隨机现象。当学生明白了这一逻辑关系之后，再介绍章引言中的内容“把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，就可以利用数学工具来研究所感兴趣的随机现象.

六、总结

良好的开端是成功的一半，章起始课是一章的开始，应得到我们的足够重视。起始课内容不要增加学生的负担，让学生产生畏惧心理，而应以“激发学生的学习兴趣，了解全章学习的路线图”为根本目的。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书.数学（A版）.必修1-5，选修系列2.人民教育出版社.

[2]陶维林.中小学数学（中学版）.研究章引言，上好起始课.