巧用法向量求多面体中的距离

谢忠

向量是高中数学中的重要概念之一，利用法向量求多面体中的距离，既是高考考查的重点又是学生的难点，就此，尝试运用向量法解题很有必要。

下面，谈谈利用法向量求多面体中的距离。解题方法指导：（1）设n是平面α的法向量，AB是α的一条斜线，A∈α，则点B到平面α的距离为d=|AB·n||n| ；（2）设n是两条异面直线L1、L2的公垂线的法向量，又C、D分别是L1、L2的任一点，则L1、L2的距离d=|CD·n||n| 。

一、 利用平面的法向量求空间的异面直线间的距离（线线距）

例1：M、N是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、BB1的中點，求异

面直线AM与CN间的距离。

解析：建立空间直角坐标系如图1，设AM与CN的公垂线上的法向量为n=（x，y，z），由A（1，0，0）、M（1，12 ，1）、N（1，1，12 ）、C（0，1，0）

AM=（0，12 ，1）、CN=（1，0，12 ），则AM·n=0且CN·n=0

得12 y+z=0，且x+12 z=0，令z=2，则x=-1，y=-4

所以n=（-1，-4，2），AC=（-1，1，0）

故异面直线AM与CN距离d=|AC·n||n| =|-1×（-1）+（-4）×1+2×0|√（-1）2+（-4）2+22 =√217

二、利用法量求点到平面的距离（点面距）

例2：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BD的中点，求点D到平面PEF的距离。

解析：建立空间直角坐标系如图2，由P（0，0，1），E（1，12 ，0），F（12 ，1，0），PE=（1，12 ，-1），PF=（12 ，1，-1），设n=（x， y， z）是平面PEF的一个法向量，则PE·n=0且PF·n=0，得x+12 y-z=0且12 x+y-z=0

令x=y=2，则z=3，所以n=（2，2，3）

又PD=（0，0，-1）故d=|PD·n||n| =3√1717

三、利用法向量求平行直线到平面的距离（线面距）

例3：正三棱柱ABC—A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，AD⊥C1D，若AB=2，求直线A1B与截面ADC1的距离。

解析：易证AD⊥BC，连结A1C交AC1于E，由A1B∥DE

可得A1B∥面ADC1，建立空间直角坐标系如图3：由B（1，0，0），

A（0，-√5，0），C1（-1，0，2），AD=（0，√5，0），C1D=（1，0，-2），

高n=（x，y，z）是面ADC1的一个法向量，则AD·n=0且C1D·n=0，

得√5y=0且x-2z=0，令z=1，则x=2，所以n=（2，0，1），BD=（-1，0，0），故d=|BD·n||n| =2√5 =2√55

四、利用法向量求平行平面间的距离（面面距）

例4：棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1 、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。

解析：建立空间直角坐标系如图4

由A（1，0，0），M（1，12 ，1），N（12 ，0，1），B（1，1，0），

AM（0，12 ，1），AN=（-12 ，0，1）

设两平面的法向量为n=（x，y，z），则有AM·n=0且AN·n=0，即12 y+z=0且-12 x+z=0令x=2，则y=-2，z=1，得n=（2，-2，1），又AB=（0，1，0）故d=|AB·n||n| =2√4+4+1 =23

注：例3、例4可转化为点到平面的距离来求。

在多面体中求有关距离的问题比较多，如果能把这些问题转化为向量运算，解答起来更省时省力，又减少了作辅助线的烦恼，体现了“数”与“形”的结合，从而减少计算量，优化解题过程，这也是得用向量解题的独到之处。