“隐函数的求导”教学中数学思想方法的运用

李霞

摘要： 本文首先对大学数学教学过程中数学思想方法的重要性做了简要介绍，然后重点讲解了微积分中几种常见的数学思想方法，通过“隐函数的求导”具体教学过程中的教学案例，阐明数学思想方法的运用在微积分教学中的重要性。

Abstract： In this paper， the importance of mathematical thought in the process of mathematics teaching is introduced briefly， and then it highlights the calculus in several common mathematical thinking methods， and through the teaching process of "the derivation of implicit function"， clarifies the importance of using mathematics thinking method in calculus teaching.

關键词： “隐函数的求导”教学；数学思想方法；微积分

Key words： the teaching of “derivative of implicit function”；mathematical thought；calculus

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）32-0209-02

0 引言

数学思想与数学方法不仅是高校素质教育的重要途径，也是大学生的数学知识向数学观念转化的基础。任何知识都必然会形成一个系统的知识体系，最终在大脑中形成基本的观念，数学亦是如此，然而要想将固有的、书面的数学知识转化为科学的、内在的数学观念，在具体的课堂教学中，教师要想将数学知识真正地输送到学生的脑子里，让学生自己形成数学观念，应在讲清基本数学知识的基础上，讲究数学知识教学的方式方法，使学生在了解数学思想的基础上，形成自身的数学精神，进而实现我们的数学素质教育。

1 微积分中几种常见的数学思想方法

1.1 函数思想

函数思想是学习微积分的一种策略性的指导方法，其研究重点是在于研究状态到研究变化的过度，在函数思想运用中，一个变量会随着另一个变量的变化而发生改变，它符合辩证唯物主义。微积分学科可以当做是以极限思想研究函数特性的学科，它和函数思想的本质不谋而合，因此采用函数思想学习和解决微积分问题效果极佳。

1.2 极限思想

在数学中，极限思想指的是利用无限变化的趋势来分析有限变化的思想，具体来说就是通过极限思想可将有限用无线变化描述出来，将精确用近似描述出来，因此，极限思想对于微积分问题的解决也具有重要意义。极限思想是高等数学的一个重要思想，它描述的是一种变化趋势中无穷小的过程，并以此思想为基础，逐渐引出了广义积分、定积分、导数、连续性等。事物存在的根本属性是运动，且存在突变和渐变之分，极限思想属于一种渐变思想，它通过研究变化趋势来确定不变的问题，比如将极限思想应用在求解曲边梯形的面积时，可以直代曲，最终求出曲边梯形面积，如图1所示。

1.3 化归思想

在微积分教学中，化归思想的应用指将较为抽象或较难的问题转化为较容易的问题，或者将还未解决的问题转化为已经解决的问题，最终实现问题的解决。由此可知，化归思想的关键是简化或者转化，在具体的应用化归思想的过程中，首先应该明确化归对象，其次确立化归目标，再者选择化归途径。通常转化问题可通过以下几种方法：命题形式的转化；复杂问题简单化；引入辅助元素的转化；抽象问题形象化；陌生问题熟悉化。

在解决问题时，化归原则的一般模式如图2所示。

1.4 类比思想

类比思想的应用关键在于抓住事物之间的相似性，然后对比分析实际问题和类似问题，进而找到解决实际问题的突破口，事实上，高等数学中很多公式和定理都是通过类比得到的，且类比方法还能够用于对相似问题的研究，有利于推广数学研究。在高等数学中很多概念都是相互关联的，必然存在一定的相似性。在微积分教学中可利用各个概念之间的相似性，先讲解较为简单的数学知识，然后层层推进，讲解较为抽象的数学知识。

1.5 数形结合思想

在微积分教学中，数形结合思想的运用指的是针对数学问题，将数与形之间建立起相应的联系，然后通过观察形的变化来分析数的变化，或者根据数的变化来判断形的变化趋势，从而找出对应点，将问题解决掉。

1.6 数学建模思想

数学模型是指用数学语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。数学建模是指对现实世界中原型进行具体构造数学模型，是问题解决的一个重要方面和类型，将考察的实际问题转化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过研究和解答数学模型，可将相关的实际问题解答出来。数学教育的一个重要目的就是培养学生的数学意识和实际应用能力，使数学和实际应用结合在一起，而不是将数学束之高阁。数学模型思想就是将各类实际问题转化为可以解决的数学问题，然后利用数学思想和方法寻求问题的答案，从而解决实际问题。

1.7 整体与局部的思想

整体和部分是相对而言的，整体是由部分组成的，若整体不存在，那么部分也必然不存在，但部分虽然是整体的组成，有时也可以是一个整体。在数学中，可从问题的整体性质入手，分析和改造问题的整体结构，将整体结构特征分析出来，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。简而言之整体思想就是观察和认识问题时从整体入手，从而解决问题。数学学习抽象且复杂，利用整体思想可将较为抽象和复杂的问题简化，从整体入手解决问题，拥有大局意识，不拘泥常规，解决问题的效率将事半功倍。endprint

2 “隐函数的求导”教学中数学思想方法的具体运用

下面就以“隐函数的求导”教学为例具体介绍数学思想方法在教学中的具体运用。“隐函数的求导”这一节的内容相对来说理解起来比较困难，很多学生初次接触都不太理解，那如果在讲解过程中结合数学思想方法来讲解，可以大大提高学生的理解力，能更好地掌握本节内容，并知道“隐函数的求导”和“复合函数的求导”间的关系。

例1：已知由ey+x2y=2x确定的y=y（x），求y关于x的导数。

分析：首先y=y（x）这个函数是隐函数，这题就是求隐函数的导数。我们先看题目中的函数ey，它相当于复合函数，因为指数y也是一个函数，但是与一般的复合函数又有些不一样，这说明该函数与复合函数的关联性比较大，而复合函数的求导我们已经学会，所以就将隐函数的求导转化为复合函数的求导，即：

隐函数的求导？圯复合函数的求导

而这个思想就是数学化归思想，通过这样的转化让学生了解它们两者间的关系：隐函数的求导实质意义就是复合函数的求导，这样就将未知的知识？圯已知的知识，学生理解起来稍微简单些。再将这两者的求导过程做比较，在类比中辨别它们的异同点，可以更直观地掌握它的求导方法。

从上面求导的过程中可以看出，两个函数的求导过程是一样的，都运用了复合函数链式法则进行求导，只不过前一个函数y=y（x）是未知的函数，而后一个函数中的y=y（x）是已知的，这也是隐函数和显函数的区别，但它们的求导都属于复合函数的求导，这一过程就采用了类比的数学思想方法，更直观地说明了问题，从而加深了学生的理解。而复合函数求导中复合函数的分解是求导的关键，上面的解题过程中均有所体现，而复合函数的分解就是利用整体换元的思想由外到内，层层分解，最后分解成基本初等函数，那么这里就体现整体的数学思想，在讲解过程中结合这些数学思想方法进行授课，可以帮助学生理解所学内容，并能加深对概念的印象，并且可以培养学生学习数学的兴趣，激发起它们想要探索其他數学思想方法的动力。

那么这题的整体解题过程如下：

方程两边对x求导得：

只要对函数ey求导过程理解的话，那么对整个方程左右两边的函数的求导就会迎刃而解。

下面再通过一个例题来加以巩固，了解学生的掌握情况。

例2：求由方程x3y+xy3=5所确定的函数y=y（x）的导数。

这道题目让学生来解，解题过程如下：

3x2y+x3y′+y3+x·3y2y′=0

（x3+3xy2）y′=-（3x2y+y3）

∴y′=-

这道题目又稍微复杂些，除了有隐函数的求导，还涉及到导数的四则运算法则，学生在解题过程中要加以注意，否则两者结合在一起，很容易混淆导致错误，但通过在讲解过程中介绍数学思想方法，学生接收新知识就比较容易，从解题的过程就可以看出，与没有讲授数学思想方法的学生相比教学效果明显不同，所以在数学教学过程中有效渗透数学思想方法是非常必要和重要的。

3 结论

尽管无法量化考核数学思想的教学效果，但是不可忽视数学思想在数学教学过程中的重要作用，它对于提升学生的数学学习能力和创新意识具有重要意义，数学思想方法能够让学生了解到数学知识的内在意义和知识形成背景，有针对性地掌握和记忆相关数学知识，而不是死记硬背。因此，在高等数学教学过程中应充分意识到数学思想方法的重要性，将其应用在数学教学及研究工作中，教学效果将事半功倍。

参考文献：

[1]杨晶.微积分教学中的数学思想方法的探究[J].高教学刊，2016，17.

[2]邵亚斌.例谈数学思想方法在课堂教学中的应用[J].课程教学，2016，20.

[3]王娇.浅谈高数微积分思想及其在实践中的应用[J].科技视界，2015，14.endprint