对角动量定理的表达式和适用对象的说明

李娇

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2017.25.244

摘 要：本文先定义了力矩和角动量，从质点的牛顿第二定律出发，首先引出质点的角动量定理，又经严格的分析推导，给出不同物体及系统绕定轴转动时的角动量定理表达式，最后对角动量定理适用对象进行特别说明。

關键词：力矩 角动量 角动量定理 质点 可形变非刚体 系统

中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（a）-0244-02

角动量定理是大学物理中的一个重要内容，许多教材在介绍角动量定理时顺序是按照这两种方式进行的，第一种：首先在质点动力学中引出质点的角动量定理，再给出质点系的角动量定理；在讲刚体的定轴转动相关内容时，又引出定轴转动刚体的角动量定理。第二种：直接将角动量定理放到了定轴转动刚体这章，由定轴转动刚体的转动定律推导出定轴转动刚体的角动量定理，再说明如果内部各质点相对于转轴的位置发生变化时，角动量定理表达式又是怎样的。这两种方式都使学生不能对角动量定理有一个完整、全面的认识；让他们觉得角动量定理的表达式很混乱，不清楚什么物体能用角动量定理，该用哪种形式的角动量定理。为了说明角动量定理其适用于所有的物体，包括质点，定轴转动刚体，还有可形变的非刚体及系统，本文给出了严格的分析推导。

1 力矩和角动量

在自然界中，常会遇到质点绕一定中心运动的情况，大的如行星绕太阳公转，月球绕地球运动，小的如原子中电子绕原子核的转动等。对于这些运动，引入力矩，角动量，并进而找出它们之间的规律，对于研究转动问题很有益处。

1.1 力矩

1.1.1 对参考点的力矩

在惯性系中，一质量为m的质点，某时刻的位矢为，并受力作用，则力对参考点O的力矩为：

（1）

由矢量的知识可知，力矩的大小为 即力乘以力臂，其中是与的夹角。的方向遵循右手螺旋定则，即右手的四个手指由矢量沿<180°角绕向矢量，此时大拇指所指方向即是力矩的方向。

1.1.2 对轴的力矩

我们日常所见的转动很多是绕某轴进行的，如门绕门轴的转动，风扇叶绕转轴的转动，陀螺的转动等，在这种情况下，对转轴起作用的力矩只是力矩矢量沿转轴的分量，我们把这一分量称为力对轴的力矩，其实所谓力对轴的力矩就是力对参考点的力矩在轴上的投影。

1.2 角动量

1.2.1 质点对参考点的角动量

如图1所示，在惯性系中，一质量为m的质点，某时刻的位矢为，动量为，则质点对参考点O的角动量为：

（2）

由矢量的知识可知，力矩方向遵循右手螺旋定则，力矩的大小为：

（3）

在这里可以认为此刻质点做以O为圆心，d为半径的等效圆周运动，利用圆周运动的线速度和角速度关系：

（4）

将（4）带入（3），并利用转动惯量的定义可得：

（5）

1.2.2 质点对轴的角动量

与力矩完全类似的讨论可以得出质点对轴的角动量，需要将动量与位矢都投影到过参考点并与轴垂直的平面内，则此时在垂直平面内的动量对参考点的角动量就是动量对轴的角动量。

2 质点的角动量定理

列出质点的牛顿第二定律：

（6）

变形可得：

（7）

由于方向平行于，则，故：

则（7）可变为：

（8）

利用力矩及角动量概念，（8）可变为：

（9）

（9）左右两边分别积分得：

（10）

质点对参考点的角动量表明，合外力矩持续作用在质点上一段时间能改变质点的角动量，改变情况为作用于质点的合外力矩的冲量矩等于多少，质点角动量增量就为多少。

以z轴为例，质点对轴的角动量定理就是将（10）式中，投影到z轴正半轴的分量式，可知它是标量式：

（11）

由前面质点的角动量的知识可知（11）可以变为：

（12）

质点z对轴的角动量定理在实际中的常用式。其中，，是质点绕z轴做等效圆周运动时对z轴的转动惯量和角速度。

3 定轴转动质点系的角动量定理

一个由n个质点构成的系统，整个系统对同一定轴的角动量定理其实就是将每个质点对轴的角动量定理加起来，对系统而言就要区分系统内力和系统外力，其中系统内力是系统里面质点间的相互作用力，属于作用力与反作用力，而一对作用力反作用力的力矩和为零，故质点系对定轴的角动量定理是系统外力矩对轴的冲量矩等于系统对轴的角动量增量，表达式为：

（，） （13）

质点系对定轴的角动量定理：

（14）

质点对轴的角动量定理在实际中的常用式。

4 定轴转动刚体的角动量定理

利用定轴转动刚体的转动定律：

（15）

（15）×dt并两边积分可得：

（16）

定轴转动刚体的角动量定理。

5 定轴转动可形变非刚体的角动量定理

当物体是可形变刚体时，它绕某一固定轴转动时，我们分析它的角动量定理时可借助质点的角动量定理和将可形变非刚体分割成质点系来得出。由于非刚体在做定轴转动，在任意瞬时可认为它上面每个点都在绕同一轴做同方向的圆周运动，每一点的角速度相同，故非刚体上每点的角动量方向都相同，大小为，整个非刚体的角动量定理就是把它上每点的角动量定理加起来。其中角动量相加时由于同一瞬时非刚体上每点的角速度都相同，每点的角动量方向都相同，所以整个非刚体某个时刻的角动量就等于非刚体上所有点的转动惯量之和乘以此刻的角速度，非刚体上所有点的转动惯量之和就是整个非刚体的转动惯量。非刚体在定轴转动过程中发生形变，对轴的转动惯量发生，角速度也发生变化，所以整个过程中初末时刻的角动量就等于非刚体的初末时刻转动惯量乘初末时刻角速度，最终可得整个定轴转动非刚体的角动量定理就应该为：

（17）

定轴转动可形变非刚体的角动量定理。

6 任意系统绕定轴转动的角动量定理

由于任意系统，无论是纯粹的质点系，纯粹的刚体系，还可以是质点、刚体、可形变非刚体构成的复杂的系统，都可以采用分割法将系统看成是由质点组成的质点系，利用质点系的角动量定理，所有系统绕定轴转动的角动量定理的表达式可以表示为：

（18）

其中M是系统所受所有外力对定轴的力矩和，Ji为系统里第i个物体对轴的转动惯量，和为系统里第个物体对轴的初末角速度。

7 结语

本文先定义了力矩和角动量，从质点的牛顿第二定律出发，首先引出质点的角动量定理，又经严格的分析推导，给出不同物体及系统绕定轴转动时的角动量定理表达式，并最终给出适合所有物体及系统绕定轴转动的角动量定理表达式：

（19）

参考文献

[1] 张三慧.大学物理学上[M].北京：清华大学出版社，2014.endprint