探索an（a，n是正整数）末两位数字通解的方法

金建平　胡明雷

[摘 要] 逻辑推理是初中竞赛能力培养的重要素养，an的末一位或末两位数字求法是初中数学竞赛中常见的考试内容之一. 本文从底数是一位数、两位数和多位数幂的末两位数字的研究，探求an（a，n是正整数）末两位数字的通解方法.

[关键词] an；末两位数字；通解

问题提出

近日，在竞赛资料中看到：32016的末两位数字为（ ）

参考答案 32016=91008=（10-1）1008=101008-1008×101007+…-1008×10+1=100×101006-1008×101005+…+-1080+1，所以32016的末两位数字是21.

参考答案的解法是运用二项式定理求解，但初中阶段没学过二项式定理，且受底数和指数的限制，尤其是底数，能转化为9和11的非常少见，能否找到一种通法解决an（a，n是正整数）的末两位数字问题？

问题探索

1. 查阅资料，寻求答案

带着疑问，笔者翻阅杂志、上网查阅，没有查到如何解决an（a，n是正整数）末两位数字问题. 仅有邵雄、何勇潮合写的《浅谈求自然数a的正整数幂an的末k位数的规律》[《教学与研究（中学数学）》]和楼健儿写的《正整数幂an的末两位数循环周期的确定》，但所用的知识均为高中知识，且方法较为复杂，不适宜初中生掌握.

2. 列举探索，寻求规律

（1）以32016为例探索

笔者试着探究底数为个位数的an的末两位数字的求法. 以底数3为例：31，32，33，34，35，36，37，38，39，310，311，312，313，314，315，316，317，318，319，320，321…的末两位数字分别是03，09，27，81，43，29，

87，61，83，49，47，41，23，69，07，21，63，89，67，01，03，…，每20一循环，2016被20除余16，所以末两位数字是21.

（2）探求an的末两位数字的求法

类似于以上探索方法可得底数为个位数的其他数字的幂（an）的末两位数字的循环规律：底数为2时，从22开始，每20个一循环；底数为8时，每20个一循环；底数为4，9时，每10个一循环；底数为6时，从62开始，每5个一循环；底数为7时，每4个一循环；底数为1时，末两位数字均为01；底数为5时，从52开始，末两位数字均为25. 由此可得底数为1～9的幂最多每20个一循环. 但底数为两位数的幂与底数是一位数的幂（它们的底数个位相同）的末两位数字并不完全一致，如221的末两位数字是52；2221的末两位数字是72……由此可见，直接运用末两位数字的规律，虽然可以求出an（a，n是正整数）的末两位数字，但循环节过多，而且特殊情况还需记忆，难度较大.

（3）再探an的末两位数字的求法

容易知道个位数字为0，1，5，6，7的幂的末两位数字的循环节最多只有5个，而任何末两位数字为01～99的正整数的幂都可以转化为末位数字为0，1，5，6的幂，具体对应如表1.

从表1可以看出：末两位数字为01～99的正整数的四次幂的末两位数字只有12种情况：01，00，16，21，25，36，41，

56，61，76，81，96.

（4）再次研究an的循環节个数

末两位数字为01，00，16，21，25，36，

41，56，61，76，81，96的正整数的幂的末两位数字的循环节为1个或5个，具体对应如表2.

（5）探求底数多于两位数的an的末两位数字

根据幂的特征，任何一个大于两位数的正整数的幂的末两位数字的情况与其个位和十位相同的两位数的幂的末两位数字相同.

（6）探求底数为任意位数的an的末两位数

综上所述，an（a，n是正整数）的末两位数字均可以通过如下方法求得：若底数是一位数或两位数的幂，则①根据幂运算的法则，把底数转化（最多4次方）为末两位数字为01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的数；②末两位数字为01，00，16，21，25，36，41，56，61，76，81，96的正整数的幂，其末两位数字的循环节最多只有5个.

若某一整数是三位数及以上，则可根据规律转化为两位数. 根据规律和根据以上研究可知：我们可以较快地求出an（a，n是正整数）的末两位数字.

举例说明

1. 求5100的末两位数字：因为5n（n≥2）的末两位数字都是25，所以5100的末两位数字是25.

2. 求92015的末两位数字：因为92015=92014×9=811007×9，811007的末两位数字的规律是81，61，41，21，01，81，…，每5个一循环，所以811007的末两位数字是61，61×9=549，因此92015的末两位数字是49.

3. 求42017的末两位数字：因为42017=42016×4=161008×4，161008的末两位数字的规律是16，56，96，36，76，16，…，每5个一循环，所以161008的末两位数字是96，而96×4=384，因此42017的末两位数字是84.

4. 求20152015的末两位数字：因为20152015→20152014×2015→152014×15→2251007×15→251007×15，25n的末两位数字都是25，25×15=375，所以20152015的末两位数字是75.

5. 求19981999的末两位数字：19981999=19981996×19983→981996×983=9604998×9604×98→4998×4×98=16499×392，16499的末两位数字的规律是16，56，96，36，76，16，…，每5个一循环，所以16499的末两位数字是36，36×92=3312，因此19981999的末两位数字是12.

实际应用

1. 求（1+3）（1+32）（ 1+34）…（ 1+364）的末位数字.

解答？摇 （1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）=（3128-1），而3128=964=8132，8132的末两位数字的规律是81，61，41，21，01，81，…，每5个一循环，所以8132的末两位数字是61，所以3128-1的末两位数字是60. 因此（3128-1）的末两位数字是30或80，所以（1+3）·（1+32）（1+34）…（1+364）的末位数字是0.

（注：这是通法之一，其他方法如上文提到的用二项式定理、3n的末两位数字，每20个一循环、高等数论中的同余也可以求. 而如能发现32+1=10，则马上可以得到（1+3）（1+32）（1+34）…（1+364）的末位数字是0）

2. 求4（1+5）（1+52）（1+54）…（ 1+5512）的末三位数字.

解答？摇 4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）=（5-1）（5+1）（52+1）（54+1）…（5512+1）=51024-1，而5n（n≥3）的末三位数字的规律是125，625，125，625，…，所以51024-1，即4（1+5）（1+52）（1+54）…（1+5512）的末三位数字是624.endprint