浅析微积分应用的若干问题

华冬云

[摘 要] 在实际工程中，人们可结合实际情况使用微积分对各种实际问题进行解决，与此同时利用微积分也可对几何学、力学等知识理论进行相应的展示，可以使其具有较强的清晰性，使学生更加容易对其进行充分了解与掌握。所以对微积分思想进行了解与掌握，并根据实际情况在各种问题中对微积分思想与知识进行灵活使用可较好地对问题进行充分解决。

[关 键 词] 微积分；应用；分析

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0120-01

一、工程中的微积分思想

在实际生活中对工程实际问题进行解决时，可将其相关流程无限小地分割成相应的区域，再将范围无限小的区域进行科学分割被称为微分。其中对各个无限多微元结果进行求和就是积分，这也是微积分的主要思想。另外，微积分主要是高等数学中对函数的积分、微分、相关理念与使用进行研究的一个数学分支。同时，其也是数学知识中的重要组成部分，主要内容通常包括积分知识、微分知识、极限与应用等。其中微分知识主要为求导数的计算，属于变化率理念中的一种。其可使速度、函数、曲线等同时使用相同的符号进行分析与探讨。积分主要包含积分计算，为面积、体积等供给统一的方法。在通常情况下，学生多可以对各种较为规整图形的面积进行计算，但若要对曲边梯形等面积进行计算，过程中则需要对微积分知识进行相应的使用。

例如：y=f（x）在其閉区间c，d中为非负连续，在直线x=c，x=b，y=0与曲线y=f（x）所组成的图形就属于曲边梯形。在对其面积进行计算时，可结合实际情况在区间c，d中加入相应的分点，将区间c，d分成若干个区间，在y=f（x）连续性的作用下，致使其函数值在各小区间中的变化情况相对较小，A≈■y=f（xi）■，也就是曲边梯形面积的相似值，在其接近无穷大时，A=■■y=f（xi）■就为曲边梯形面积的准确数值。在这种情况下，对分积分思想与方法进行使用可以较好地对曲面梯形面积计算问题进行解决。

二、微积分知识解题的主要流程

人们在使用微积分方法对相关的工程问题进行解决时主要流程分别为：首先，结合实际工程为制定合理的坐标系，对积分微元进行明确，同时在微分区域中利用近似值对准确值进行替换。其次，对所有微元值进行累计求和，对微积分的上限与下限进行确定。最后，结合实际问题对合理的积分方法进行使用，并对原函数值进行计算，真正对实际问题进行解决。

例如，一个盛满水的瓶子，其纵截面如图所示，是抛物线y=ax2（a>0），在其斜角α为何值时，瓶中的水正好倒掉■。

解析：首先，结合问题对瓶装竖立满水时的体积用相应的积分进行表示，其结果为V=■，其次，设瓶子倾斜角度为α时瓶子刚好倒掉一般的水，以此为基础制订相应的坐标系，其中这时瓶子的对称成为y轴，与瓶子对称轴层垂直状态的射线为x轴，之后再将平面坐标系转换为正常的立体图形，这时瓶中水横截面图为抛物线与瓶中水面之间的公共范围，应注意的是这时水面所处的直线与x轴之间的倾角正好为问题中所需要解答的倾斜角α，（如图所示，倾斜后瓶中水平面与x轴成平成状态，所以水面与瓶子的对称夹角应为90°-α，也就是在对新坐标系中，瓶中水面所属的直线与y轴夹角的度数也为90°-α，因此其与x轴夹角为α），这时结合实际问题设其直线方式为y=tanαx+b设直线与抛物线交点分别为A（x0，y0），B（sqrt（■），h），其中A在左侧，B在右侧，B点纵坐标与瓶子的高度（h）相同，这时通过B点的坐标对直线截距b进行计算，再将直线与抛物线方程进行联立，就可对A点的坐标进行明确。最后，对当前瓶子中水的体积进行计算，同时可根据实际情况将图进行两部分分割，第一部分为直线y=y0，与抛物线相交的部位。第二部分为y=y0，直线y=tanαx+b与抛物线y=ax2（a>0）相交的部分，第一部分体积经过计算为V1=■π（x2）dy=■■（该积分上限为0，下限为y0），第二部分体积为V2=■（sqrt（■）-■/2）2dy（该积分上限为y0，下限为h），所以在根据V1+V2=V/2=■=■■+■（sqrt（■）-■/2）2dy，进而求得α的值。

通过这一例题，我们可以较为明显地发现，在学生对微积分知识进行充分掌握的同时，还应对其主要流程进行了解，这样可以更好地促使学生的解题能力提升。

综上所述，使用微积分对实际问题解决重点是进行相应的分析，结合实际问题对微元进行科学的选择、制订相应的微分、明确问题主要目标、确定问题初始条件等，这样可以更好地提高学生对实际问题的解决质量与速度，为学生的发展奠定坚实基础。

参考文献：

[1]刘洪辰.浅析微积分应用的若干问题[J].佳木斯职业学院学报，2015（5）：252-253.

[2]张颖，孙旭春.高职微积分概念教学方法浅析[J].职业教育研究，2013（9）：112-114.