发现之旅：例谈线性代数矩阵教学中的数学之美

丁钧

[摘 要] 线性代数作为大学数学的基础课程，其重要性不言而喻，但其工具性特征往往掩盖了她作为数学最本质的一面——数学之美。以线性代数矩阵教学中若干例子来说明线性代数的数学之美。

[关 键 词] 线性代数；数学之美；矩阵教学

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0130-02

线性代数是大学数学的基础课程，对培养学生良好的数学素养有着举足轻重的作用。尤其对理工科的学生而言，学习线性代数的意义不仅仅在于训练思维，更是后续相关应用类课程的基础，没有扎实的线性代数知识，就无法熟练掌握应用类课程的知识。但是在平时的教学中，经常会发现学生在学习线性代数时，对某一知识点（比如相关问题的数值计算）掌握得比较好，而且自我感觉学得还不错。但涉及课程整体知识结构甚至某一章内容的知识点之间的联系时，就无法把握，总感觉似懂非懂，不知其所以然，当然更谈不上有没有理解其中蕴含的思想方法了。所以，常会听见非数学专业的学生称“线性代数是最枯燥乏味的一门课”。

很显然，学生之所以认为“线性代数是最枯燥乏味的一门课”，是因为出于实用主义的观念，教学中经常会强调线性代数的工具性、实用性，久而久之便忽略了线性代数作为数学一个分支的重要本质特征：数学之美。正是因为兼具实用性和美学性数学才能不断发展和延伸。线性代数概念抽象、符号众多、逻辑严密、思想丰富、方法巧妙，如果单从工具性的角度去对待，自然就无法理解课程内容之间的联系，更无法从整体上去把握知识体系，这对学生基础知识的建构和后续的应用是很不利的。

如果线性代数教学中能多从数学美的角度去审视和欣赏课程内容，将其中蕴含的美学特征揭示出来，那么对学生而言，线性代数的学习过程犹如一段探索和发现数学之美的旅程，其影響无疑是深远的。本文将以线性代数中矩阵教学为例，尝试从数学美的角度来探讨如何帮助学生开启发现数学之美的旅程。

一、数学之美

数学美是以抽象的表达体现感性内容的一种形式美，它来源于人类在劳动实践过程中对客观世界的抽象与概括。马克思主义认为“劳动创造了美”，而数学本身产生于人类对客观世界的改造过程中，数学的产生和发展其本质就是劳动过程。所以，从数学诞生起数学美便是其重要的特征。

数学之美，体现了语言之美、结构之美和方法之美。具体表现在数学概念表述的简洁、精确；数学公式的结构严谨、对称；数学图表的直观、和谐等。这些数学美的外在表征与数学固有的特征不谋而合，是最能体现数学之美的几种表现形式。

数学之美从不同的审美角度可以分为不同的类别。比如，从内容来看可以分为概念之美和公式之美，从方法论来看可以分为类比之美、抽象之美、简洁之美等，从结构来看可以分为对称之美、统一之美及奇异之美。

二、发现之旅：线性代数矩阵教学中的数学之美

（一）概念之美：数学符号

作为最能体现数学之美的一种表现形式，数学符号在线性代数中的作用举足轻重。以多角度、多视角去审视整个线性代数中的数学符号，不难发现数学符号的美学特征在线性代数中表现得淋漓尽致。

线性代数中对概念的叙述精确、完备，不仅揭示出概念本身的内涵，同时也能推导出外延。而线性代数的相关定义常用合理的数学符号来使数学语言从形式上更趋于简要、明确、精准，而且从形式化的演绎上能更容易进行分析和推导。线性代数中对向量组（向量数大于等于1）的线性相关性的描述便是例证。

线性代数线性方程组一章中对线性相关的概念叙述如下：“向量组α1，α2，…，αs（s≥1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0”.

此定义包含两层含义：

首先，如果向量组α1，α2，…，αs是线性相关的，那么其中有一个向量是其余向量的线性组合，不妨设αs=k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1.把它改写一下就有k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+（-αs）=0。因为数k1，k2，…，ks-1，-1，不全为0（至少-1≠0），所以这个向量组线性相关。

其次，如果按上述定义α1，α2，…，αs是线性相关的，即有不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0。由于k1，k2，…，ks不全为零，不妨假设ks≠0，于是上式可以改写为αs=-■α1-■α2-…■αs-1。很显然，向量αs可以被其余的向量线性表出，所以此向量组线性相关。

不难看出，当时的线性相关定义用精确的描述阐释了两个方面的内涵，并且对实数k的特征描述非常清晰——不全为零。在对其内涵深入理解的基础上，必定会对条件“不全为零”的反面情况进行思考，便会得出与线性相关相对的定义。即如果由k1α1+k2α2+…+ksαs=0可以推导出k1=k2=…=ks=0，那么就称α1，α2，…，αs是线性无关的。

综上，对向量组α1，α2，…，αs（s≥1）线性相关性的把握最终即可归结为对数学符号k1α1+k2α2+…+ksαs=0时，k1，k2，…，ks是否全为零的讨论。

数学的概念之美体现在以数学符号为载体的语言的精确性、可延展性和简洁性。

（二）统一之美：数形的完美结合

所谓统一性，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。显而易见的是，如果在这样的定义理解下，对称性也应在统一性范畴之内。当然，就统一性概念在数学中的应用来看，应当还包括“不变性”的特点，即存在于不同对象、不同组织结构中共同的规律。那么统一之美必定是这些和谐、统一性和不变性的直接体现。

线性代数结构有两条主线，一是矩阵理论，二是以向量关系和线性空间结构来论证相关理论和变换。故有一种观点认为线性代数是代数与几何完美结合的产物，甚至完全可以从空间的角度贯穿整个体系，比如从几何空间到维空间，进而抽象至线性空间最后有维度的空间。这种数形结合的特点体现了线性代数的数学之美。我们可以通过几何图形的固有特点通过线性代数的符号和公式体现内在的和谐统一之美。行列式与三角形面积的关系便是很好的例证。

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平面直角坐标系内△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），由A、B、C三点向x轴做垂线分别与x轴交于A′、B′、C′点，则△ABC面积可表示为：

S△ABC=S梯形AA′C′C+S梯形B′BC′C-S梯形AA′B′B=■（x1y2-x1y3+x3y1-x2y1 +x2y3-x3y2）

不难发现△ABC面积正好是三阶行列式■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的展開式，所以，S△ABC=■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1，即在已知三角形各顶点坐标的情况下，其面积可归结为三阶行列式■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的绝对值。

进一步，如果行列式x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0，则说明A、B、C三点共线。同时，如果给定我们任意两点坐标A（x1，y1）、B（x2，y2），那么我们可直接以三节行列式x y 1x2 y2 1x3 y3 1=0来表示直线AB的方程。

更进一步，如果A、B、C三点不共线，那么过这三点的圆方程为x2+y2 x y■+■ x1 y1■+■ x2 y2■+■ x3 y3=0

以上从三阶行列式表示三角形面积引申推广到利用行列式表示直线方程、圆方程，无论从内容还是形式都体现出统一性、和谐性特征，而这恰恰是数学之美的重要表征形式。

（三）奇异之美：逆思维的应用

奇异之美，是数学之美的一项基本内容，弗兰西斯培根说过：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”数学的研究中，奇异性的发现往往能带来出乎意料的作用。比如线性代数中的奇异值分解就是一个典型的例子。

所谓奇异值分解是指一个m×n的矩阵A可以分解成三个矩阵的乘积，即A=UBVT

其中，U是一个m×m的正交阵，B是一个m×m的对角阵，V是一个n×n的正交阵。

奇异值分解的现实意义在于它给出了一种可以在计算机或者在服务器上实现的数据相关度搜索的方法。

比如我们现在可以假设用一个大矩阵A来表示论文和词的关联性。在这个矩阵中，每一行对应一篇论文，每一列对应一个词，最终形成一个m×n的矩阵。

A=a11 a12 … a1n■ ■ … ■am1 am2 … amn，这个矩阵中的元素aij表示第j个词在i篇论文中出现的加权词频，所以这个矩阵元素的数量会大得惊人。比如m=100000，n=20000，那么矩阵A就含有20亿个元素。通过奇异值分解就可以将矩阵A分解成三个小矩阵，从而极大地减少计算量，提高运算速度，快速找出与搜索关键词最相近的论文。

当然，在实际运用中要解决的关键就是如何用计算机进行奇异值分解，最著名的莫过于Google的奇异值并行算法。

数学符号的魅力就在于可以将现实的问题用符号化的数学语言进行抽象和简化，进而建立可解决的数学模型，奇异值分解就是一种典型的利用矩阵运算特点解决实际问题的逆向思维和模块化思维，是数学奇异之美的直接体现。

总之，线性代数作为一门极其抽象化的学科，只要注意体会，细心观察，就会发现数学之美无处不在，当你会发现它的美的时候，学习也就变得轻松了。

参考文献：

[1]刘学鹏.对称矩阵和谐的外在美和内在美[J].高等理科教育，2004（2）.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997：116-125.

[3]张雄.数学美的根源、本质和特征[J].陕西师大学报（哲学社会科学版），1991（2）：47-52.