关于乘法分配律的有效教学策略的实践研究

陈西西

【摘 要】小学阶段的运算定律的学习中，乘法分配律无疑是重点，也是最难理解和掌握的一部分。文章从现状调查以及分析学生的学习困难入手，研究提高乘法分配律的有效策略，从系统把握教材、巧用生活情境、利用数形结合、进行练习的变式等几个方面，使学生真正理解乘法分配律的内涵，掌握好数学模型，从而有效提高学习效率。

【关键词】小学数学；乘法分配律；教学策略

一、小学数学中乘法分配律的教学现状调查

（一）依葫芦画瓢，方法选择的负迁移

在去年学校组织的团队赛课中，在执教《除法有分配律吗》时，为了进一步研究，我们有针对性地在中高年级学生中进行了前测问卷调查。

每个班大约有40%的孩子出现“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”这一类的错误，其中重要的原因在于受乘法分配律运算的负迁移的影响。从四年级开始学习乘法分配律后，无论在整数、小数、分数，还是四则混合运算的学习中，这一运算定律不断出现并被广泛应用。学生刚开始接触乘法分配律时，教材教学只出现“（a+b）×c=ac+bc”或“c×（a+b）=ac+bc”。在整数范围内的应用，此时学生已用得得心应手，不会出现错误，并在头脑中形成思维定式。当乘法分配律“推广”到整数除法中“两个数的和除以一个数，可以用这两个数分别除以这个数，再把两个商相加，结果不变”时，学生借助乘法分配律的惯性思维自然而然地迁移出“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”。

调查结论：学生在运算定律的选择与应用方面随意性比较大，模仿痕迹比较明显，只停留在形式模仿层面，即知其然，而不知其所以然。

（二）不求甚解，意义理解的不充分

笔者在教乘法分配律新授课后，从当堂练习中，发现学生能较好地运用定律，然而在第二天的练习课上，学生出现了这样一些错误：78×99+1=78×（99+1），25×32×125=25×4+125×8。学生对着模型能很好地理解，但遇到变式的题目，就不能较好地运用了。一方面，是由于学生长时间受简算意识的影响而产生的一种条件反射。他们看到特殊的数字组合，如能凑整十、整百的，总想着把他们凑合在一起，造成了思维定势。另一方面，相信很多老师都有体会，今天学什么新知识，今天所有的题目学生做题时都会采用这一方法照样画葫芦。

调查结论：学生不能灵活的选用合适的运算定律進行简便运算。说明学生对于乘法分配律的意义和形式建构理解不充分。

二、学生在学习乘法分配律时产生困难的原因分析

运算定律是对数的运算过程中的基本规律的归纳和总结，是运算本身固有的性质，是进行运算的依据。运算定律是小学阶段唯一以定律方式呈现的内容。因此，在平时的教学中如何正确地引导学生认识、理解运算定律的内涵，有必要去明确其意义与作用。但学生在学习小学阶段的运算定律时，为什么会在学习乘法分配率时会举步维艰呢？主要是难在以下几个方面。

（一）难以用准确的语言将定律描述出来

学生在学习乘法结合律时，经过大量的实例论证后，学生很快就可以用字母归纳“a×b×c=a×（b×c）”，并且很容易根据字母的顺序去叙述乘法结合律。学生在学完乘法分配律后，依旧可以很顺利的用字母归纳“（a+b）×c=ac+bc”。但是课堂上，我们会发现，即使是学习成绩较优秀的学生，也不能很准确地把定律用语言描述出来。个别学生在其他同学复述了好几次的情况下，还是不能用语言进行准确的描述。课后分析原因，可能在于对乘法分配律的描述中，出现了平时不大出现的数学语言，如两个数的和、分别乘一个数等，学生说起来比较拗口。

语言是一个人思想的外在表现形式，当学生难以用语言去描述乘法分配率，是因为他们还没真正理解乘法分配率的本质。所以，在课堂上，教师除了观察学生书写的正确率，数学表达能力也是极其重要的一个能力。

（二）乘法分配率符号复杂多样

乘法分配律与其他定律相比，符号多样化。已经学习过的乘法交换律和乘法结合律——a×b=b×a、a×b×c=a×（b×c），左右两边都只有一个乘法运算符号，但乘法分配律“（a+b）×c=ac+bc”出现两种运算符号，左边出现一次加法和乘法，而右边出现一次乘法，再出现一次加法，最后又出现一次乘法，学生单凭自己的记忆力很难记住。如“（25+9）×4”，学生很容易就写出“25×4+9”。

（三）乘法分配率模式不固定，难以运用

对于学生来讲，乘法分配律最难的还在于运用。乘法交换律和结合律只是单一固定的模式，如：25×4=4×25，234×125×8=234×（125×8），25×32×125=（25×4）×（125×8）。然而在学生眼中，乘法分配律就像一个百变金刚。如“657×99+657=657×（99+1）、69×102=69×（100+2）、42×98=42×（100-2）、51×20-51×12+（20-8）×51=51×（20-12+12）、9999×8+1111×28=1111×（72+28）”等看似跟乘法分配律无关的题目，但最终都能化为乘法分配律的基本模型进行简便运算。

三、解决学生在学习乘法分配率中存在问题的策略

（一）系统把握教材，初步感知模型

数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科。它是一个系统的整体。教师应树立正确的教材观，把握数学知识点之间的联系，帮助学生建立一个融会贯通的知识体系。《礼记·中庸》中说道：“凡事预则立，不预则废。”做任何事情都要先有准备，才能成功，不然就会失败。其实，在二年级学习乘法口诀时就已经渗透了乘法分配律的思想。如记住“5×7”，教师可以引导学生记4个7加1个7，还有“7×4-7”、“8×6-8”等练习都为今后学习乘法分配率做了铺垫。又如在教学《两位数乘一位数》“3×12”时，呈现口算方法的多样化，有部分学生把12拆分成10和2，口算“3×10=30、2×3=6、30+6=36”，乘法分配率的思想就蕴含在里面了。再如在教学《长方形正方形周长》时，两种计算周长的思想和方法也蕴含了乘法分配律的意义。

小学的数学知识就像一张网一样，前后连接，左右连接。在四年级正式学习乘法分配率之前，教材中以上知识点就已经渗透了乘法分配率的思想，教师要研读教材，把握知识与乘法分配率之间的联系，引導学生初步感知乘法分配律的模型。这样，学生在正式学习乘法分配率时，才能由浅入深，由易到难，循序渐进地掌握知识点，将知识点理解得更深刻。

（二）巧用生活情境，深入理解模型

《数学课程标准》明确指出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设各种情境，为学生提供从事数学活动的机会，激发学生对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。”人教版四年级下册的教材以植树的题材引入，提出问题：一共有多少名同学参加这次植树活动？但笔者认为，生活在城市里的学生对于植树这项活动会比较陌生，因此不妨让学生回归到真正的生活中去。例如：

师：老师去商店买水笔3元一支，钢笔25元一件，各买44支共多少元？请你试试。

生：3×44+25×44。

生：（3+25）×44。

师：两个算式怎么样？用什么符号连接？

……

师：谁能写出这样规律的算式吗？

生：（6+12）×5=6×5+12×5。

生：（25+8）×4=25×4+8×4。

……

（生探究、验证发现结论）

这样为了引入而引入，并不能充分发挥引入的引领功能。为了更加接近生活，让学生有充分的感性认识，积累和储备表象，教师可提供主题图，使学生以后运用乘法分配律进行思考时，头脑中仍可出现主题图中的“分”与“配”。在第二个环节，谁能写出这样规律的算式时，学生如果单纯写算式的话，只能单从形式上了解这个基本模型，更重要的是探究“内理”引导孩子将水笔变为6元，钢笔变为12元，算出各买5支的总价，从而得出水笔a元，钢笔b元，各买c支时的价钱。从主题图当中得出，不论怎么算，都是求a个c的和加b个c的和。还可以引申为3个数的分配，水笔、钢笔、铅笔等加以拓展。再要求学生说说每步各表示什么意思。具体可以这样引入：

师：谁能写出这样规律的算式吗？

生：（6+12）×5=6×5+12×5，水笔变为6元，钢笔变为12元，买5支的总价。

生：（25+8）×4=25×4+8×4，水笔变为8元，钢笔变为25元，买4支的总价。

……

师：那如果水笔变为a元，钢笔变为b元，求买c支的总价？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

（回归到主题图）

师：那如果再买4支一元的铅笔呢，又该怎么求总价？

（三）利用数形结合，建构完善模型

数形结合思想是小学阶段一个重要的思想方法，把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，以形助数，达到事半功倍的效果。在乘法分配律中，如果只让学生单纯地去计算，学生对定律的理解只能停留在记忆与模仿的层面，时间久了学生就会出现遗忘，以及知识间的混淆，如混淆“（a+b）×c”和“a×b×c”，所以学生到了六年级乘法分配律的错误率还是很高。在教学中，能把直观的形和抽象的数结合起来，从形中提炼出直观的数学模型，使学生真正理解运算定律的内涵。

【教学片断】

师：我们还可以借助长方形来解释。这是一块长方形花园（如图），你能列算式计算花园的周长吗？

生1：7×2+4×2=22厘米。

生2：（7+4）×2=22厘米。

师：你能指指算式中每一步是表示图上的哪一部分？（学生在说的时候动画演示）

……

师：现在你还能说说这块花园的周长吗？

生3：长×2+宽。

生4：老师不对不对，长×2+宽的话，就变成两条长和一条宽了，就不能组成一个长方形了。

师：这里的长和宽还可以用什么代替呢？

生5：用a和b代替。

师：a和b可以是几？

（生举例）

师：（a+b）×2，如果两个数的和变成乘3，两个式子还相等吗？

师：如果变乘4、5……，两个式子还相等吗？

通过作图，学生能直观的理解每一步所代表的意义。直观模型的具体化有一定的局限性，所以需要我们慢慢地向符号模型转变，使学生真正把握了模型的内涵。

（四）进行练习的变式，内化提升模型

变式练习可以培养学生的探索精神、创新能力和发散思维。变式练习大致分为以下几类。

1. 对比练习

如乘法分配律和乘法结合律“8×4×25”与“（8+4）×25”。学生对知识点产生了负迁移。针对以上情况，教师要加强对比练习，提供对比组，如：8×4×25与（8+4）×25，7×8×125与8×（125+7），125×64与125×（8+8）。引导学生分析每组算式的区别，以及每步的算理，有效击破各个难点，帮助同学理清思路。通过对比练习，学生明白只有几个几加几个几，才能用乘法分配率计算。

2. 逆向练习

25×4+25×36

128×8+125×72=（8+ ）×（ ）

3. 拓展练习

15×8+35×8+50×8

（259-59）×9

31×99

79×25+22×25-25

35×28+70

通过以上由易到难、循序渐进，有层次性，让后进生“吃得饱”，又让优生“吃得好”的变式训练，促进了学生思维向多层次发散，更好地沟通了与乘法分配律的联系。解题思路中方法与规律的练习，教会了学生联想、归纳、转化的思想方法，有效促进学生知识内化。

总之，能掌握好数学模型，需要教师研读教材，把握内在联系，引导学生深入理解、建构完善的模型，丰富和深化对乘法分配率的认知。经历从一般到特殊、直观到抽象的过程，在充分感悟的过程中，实现对分配率本质的理解，有效提高学习效率。

参考文献

[1]刘善娜.爱上我的课堂——一位小学数学教师的教学反思日志[M].宁波：宁波出版社，2014.

[2]杨帆.“分配”虽难，按“律”不难——“乘法分配律”教学难点及策略分析[J].小学数学教师，2016（03）.

[3]陈金飞.乘法分配率的数学模型的建构[J].教学与管理，2015（05）.