幂平均的凸组合界

孟祥菊，田淑环，许会峰

(保定学院 数学与计算机系，河北 保定 071000)

幂平均的凸组合界

孟祥菊，田淑环，许会峰

(保定学院 数学与计算机系，河北 保定 071000)

得到了关于几何平均G(a,b)、反调和平均C(a,b)、幂平均Mr(a,b)和算术平均A(a,b)的不等式，对所有的a、b>0成立的γ的最佳值．

幂平均；几何平均；反调和平均；算术平均

1995年，Seiffert[1]证明了不等式M1(a,b)0且a≠b成立，其中Mp(a,b)=((ap+bp)/2)1/p为a和b的p-次幂平均.

StoLarsky[2]证明了不等式I(a,b)=L0(a,b)≥M2/3(a,b)，当且仅当a=b时等号成立.

褚玉明等[3]证明了不等式αT(a,b)+(1-α)G(a,b)0且a≠b成立的充分必要条件是α<3/5且β>π/4．

经典平均在物理学、天文学、气象学中有广泛的应用，它们之间的估计式是近年来研究的热门课题.国内外学者们[4-9]建立了一系列精确的不等式，这些结果是经典结论的推广和发展.

(1)

(2)

定理2不等式A(a+b)+C(a+b)≥2M2(a,b)当且仅当a=b时等号成立.

证明若a=b，则A(a,b)+C(a,b)=2M2(a,b)=2a.

故A(a,b)+C(a,b)≥2M2(a,b)

下面证明2M2(a,b)是幂平均关于算术平均和反调和平均的最佳凸组合下界.

对于∀ε>0,0

(3)

(4)

[1] SEIFFERT H J．Aufgabe 16[J]．Die Wurzel，1995,29(87)：221-222．

[2] STOLARSKY K B.The power and generalized logarithmic means[J]．The American Mathematical Monthly，1980,87(7):545-548．

[3] CHU Y M，ZONG C，WANG G D．Optimal convex combination bounds of Seiffert and geometric means for the arithmetic mean[J]．J Math Inequal，2011,5(3)：429-434．

[4] RICHARDS K C．Sharp power mean bounds for the Gaussian hypergeometric function[J]．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005,3089(1)：303-313．

[5] CHU Y M,WANG M K,WANG G D．The optimal generalized logarithmic Mean boundcs for seiffert’s mean[J]．Acta Mathematica Scientia，2012,32B(4):1619-1626．

[6] 孟祥菊，潘学功，高梦涵.对数平均的最优凸组合界[J].河北大学学报(自然科学版)，2014，34(5)：471-474.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2014.05.005

MENG X J,PAN X G,GAO M H.Optimal convex combination bounds for logarithmic mean[J].Journal of Hebei University(Natural Science Edition),2014，34(5)：471-474.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2014.05.005

[7] 赵铁洪，褚玉明．对数平均和双参数广义Muirhead平均之间的比较[J]．中国科学：数学，2015,45(3)：233-244．

ZHAO T H,CHU Y M.Comparison between the logarithmic and two-parameter generalized Muirhead means[J]．Science China(mathematics)，2015,45(3)：233-244．

[8] 史明宇，褚玉明，蒋月评．关于幂平均、调和平均和指数平均的最佳不等式[J]．数学物理学报，2011,31A(5)：1377-1384．

SHI M Y,CHU Y M,JIANG Y P.Optimal inequalities related to the power,harmonic and identric means[J]．Acta Mathematica Scientia，2011,31A(5)：1377-1384.

[9] 孙惠，褚玉明．Toader平均的二次与调和平均界[J]．数学物理学报，2015,35A(1)：36-42．

SUN H,CHU Y M.Bounds for toader mean by quadratic and harmonic means[J]．Acta Mathematica Scientia，2015,35A(1)：36-42．

(责任编辑：王兰英)

Optimalconvexcombinationboundsforthepowermean

MENGXiangju，TIANShuhuan，XUHuifeng

(Department of Mathematics and Computer Science,Baoding College,Baoding 071000,China)

The optimal value of parameters are obtained to make the following double inequality holds for alla,b>0,2Mr(a,b)≥G(a,b)+C(a,b)andA(a,b)+C(a,b)≥2Mr(a,b)whereMr(a,b),G(a,b),C(a,b),A(a,b)denote the power mean,the geometric mean,the contraharmonic mean,the arithmetic mean of two different positive numbers a and b respectively.

the power mean；the geometric mean；the contraharmonic mean；the arithmetic mean

O178

A

1000-1565(2017)05-0454-03

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.002

2016-11-25

河北省软科学基金资助项目(154576249)；河北省自然科学基金资助项目(A2015201149)

孟祥菊(1971—),女，河北卢龙人，保定学院副教授，主要从事几何函数论的研究.E-mail：mengxiangju328@163.com