基于三体Lambert算法的平动点交会轨道设计

孙 俞，张 进，罗亚中

基于三体Lambert算法的平动点交会轨道设计

孙 俞1，2，张 进1∗，罗亚中1

（1.国防科学技术大学航天科学与工程学院，长沙410073；2.中国西安卫星测控中心宇航动力学国家重点实验室，西安710043）

针对未来建设地月系L2点空间站的需求，提出利用三体Lambert算法研究地月系L2点附近轨道的交会问题，包括设计同一Halo轨道上不同相位两航天器之间的交会转移轨道以及设计不同振幅Halo轨道之间的交会转移轨道。针对现有三体Lambert算法求解长时间轨道转移问题收敛性差的缺陷，提出利用遗传算法求解初始参考轨道，进而通过同伦牛顿-拉夫逊迭代求解目标转移轨道的方法。计算结果表明，该方法能够有效解决长时间交会轨道转移问题，可以为地月空间平动点区域空间站建设提供参考。

三体Lambert算法；轨道交会；地月空间站；Halo轨道；遗传算法

Abstract：Three-body Lambert algorithm was applied to study the rendezvous problem around the Earth-Moon（EM）L2 libration point aiming at constructing a space station around the EM L2 libration point.The rendezvous transfer trajectory between two spacecraft of different phase on the same Halo orbit and the rendezvous transfer trajectory between two spacecraft on Halo orbits with different amplitudes were designed.Considering the poor convergence of the current three-body Lambert algorithm for solving the long time transfer problems，the transfer trajectory was solved using the approach that the initial reference trajectory was computed by genetic algorithm while the accurate solution was obtained by the homotopy iteration based on the Newton-Raphson algorithm.The results showed that this method could effectively solve the long time three-body rendezvous transfer problem，which could offer a valuable reference for the construction of space station around the cislunar libration point.

Key words：three-body Lambert algorithm； orbital rendezvous； Earth-Moon space station； Halo orbit；generic algorithm

1 引言

21世纪以来，世界航天技术快速发展，各航天大国相继提出了围绕月球、近地行星以及小行星的探测计划。中国也通过“嫦娥”探月工程迈出了深空探测的第一步，并在近地交会对接技术与空间站建设方面初步取得了成功。平动点轨道设计问题在深空探测中具有重要应用价值。平动点不仅是对太阳活动进行科学探测的最佳位置，也是进行行星际探测的极佳枢纽［1］。地月L2平动点位于地月连线的外侧，早在1966年，Farquhar就提出了利用L2点附近的Halo轨道解决地球与月球背面的通信问题［2］。利用地月L2点与日地L1、L2点能级相近的特性，只需很小的能耗就可实现从地月L2点向距地球150万千米外的日地L1、L2点轨道区域转移［3］。鉴于地月L2平动点的重要性，未来在其附近建立空间站，将具有为深空探测航天器提供燃料加注、故障检修、导航通信等服务的能力。

Koon利用平面Lyapunov轨道的不变流形，设计了从近地圆轨道到月球的转移轨道［4］。Parker利用Lissajous轨道和Halo轨道的不变流形，设计了从近地圆轨道到月球的三维转移轨道［5］。针对基于流形设计节能转移轨道问题，李明涛提出利用最小二乘策略改进传统的微分修正法，在不降低系统自由度的前提下，得到了微分修正方程的解［6-7］；张景瑞等［8］采用遗传算法与微分修正算法相结合的混合优化策略，设计了考虑多约束的燃料最优地月转移轨道。

空间站的建设离不开平动点区域航天器交会对接技术的支撑［9］。平动点轨道交会对接是交会对接技术在三体平动点区域的应用，但与二体轨道相比，平动点轨道交会的难度与复杂性大为增加。三体Lambert问题不存在解析解，需要采用数值方法迭代求解。在三体Hill模型下，Sukhanov与Prado基于参考轨道，提出了同时修正初、末位置矢量的两层迭代解法［10］，克服了初值选取问题，该方法虽然有较好的收敛性，但是由于三体Lambert问题存在多解，所以不一定能收敛到期望的轨道。平动点轨道的转移，也包括它们之间的转移，Hiday通过选取与两个Halo轨道都连接的Lissajous轨道，设计了不同Halo轨道之间的转移轨道，并提出了ERTBP模型下的最优交会主矢量理论，然后拓展了无时间约束的非最优主矢量理论，并用于优化Halo轨道间的转移［11］。Davis通过拼接不同Halo轨道的不稳定流形和稳定流形，设计了Halo轨道之间的转移轨道，并利用非最优主矢量理论进行优化［12］。已有研究主要集中在设计不同Halo轨道之间的转移轨道，并且没有考虑交会问题中非常重要的时间约束。

本文利用三体Lambert算法，研究同一Halo轨道上不同相位两航天器交会对接所需速度增量与转移时间的关系，以及不同幅值Halo轨道之间的交会问题。针对已有三体Lambert算法求解长时间转移轨道收敛性差的问题，提出利用遗传算法求解参考轨道的方法。

2 圆型限制性三体模型

2.1 动力学方程

本文选取的动力学模型为圆型限制性三体模型（CRTBP）。在CRTBP中，两个主天体绕公共质心作圆周运动，而航天器的质量远小于主天体的质量，其对主天体的影响可以忽略不计。本文研究的地月系模型中，主天体的位置分别位于地球质心和月球质心［13］。

在圆型限制性三体问题中，常用的坐标系是质心旋转坐标系。原点O位于两个主天体的质心，x轴由大天体指向小天体，z轴指向系统的角动量方向，y轴与x轴和z轴构成右手坐标系。为了使计算方便，对以下物理量做归一化处理，包括地月距离、地月质量之和、万有引力常数。地球质量为M1，月球质量为M2。质量常数μ定义为月球质量比地月质量之和，如式（1）：

归一化条件下，月球和地球的质量分别为μ和1-μ。航天器在质心旋转坐标系下的运动方程为式（2） ～ （3）［14］：

其中，R1、R2分别为航天器与地球、月球的距离，R1＝ [（x+μ）2+y2+z2]0.5，R2＝ ［（x-1+μ）2+y2+z2］0.5。

2.2 Halo轨道与状态转移矩阵

在平动点周围存在很多周期轨道，最为常用的是Halo轨道。利用Richardson给出的Halo轨道三阶近似解析解［15］，可以得到计算Halo轨道的初值，再通过微分修正方法对初值进行处理，可以得到精确解［16］。

状态转移矩阵可用于描述初始状态的微小改变随时间的变化。圆型限制性三体模型下，系统状态转移矩阵Φ（t，t0） 与 Jacobi矩阵A（t） 之间的关系为式（4）：

O3×3、I3×3分别为零矩阵和单位阵，ΩXX为有效势能Ω对状态变量的二阶偏导数［14］。状态转移矩阵的初始状态Φ（t0，t0）为单位阵，同时积分式（2）和式（4）可以得到状态转移矩阵Φ（t，

3 三体Lambert算法

3.1 基于牛顿-拉夫逊迭代的三体Lambert算法

为了计算目标轨道，首先需要找到一条参考轨道。假设参考轨道的初始状态向量为式（5）：

转移时间为Tref。以X0ref为初值，积分Tref得到参考轨道的末状态向量如式（6）：

引入参考轨道偏差如式（7）：

其中：0＜ε≤1，r0和r1分别为目标转移轨道的初始和终端位置。得到新的始末位置v′0，如图1所示。如果ε的值足够小，则有如式（8）所示近似方程：

其中，状态转移矩阵Φ＝ Φ（0，Tref）根据参考轨道计算得到。式（8）中各项满足式（9）：

图1 转移轨道求解过程Fig.1 Computation process of the transfer trajectory

由式（8）可以得到如式（10）所示方程：

由式（10）可以得到速度的近似值如式（11）：

由式（11）得到的是近似值，将状态积分时间得到终端位置为了得到的精确值，使用式（12）所示牛顿-拉夫逊法迭代求解：

得到精确的v′0后，可以计算中间过程的转移轨道。再将得到的轨道作为参考轨道，重复以上过程，直到转移轨道和目标轨道重合，即转移轨道的初始和终端位置满足式（13）所示约束条件

3.2 基于遗传算法的三体Lambert算法改进

牛顿-拉夫逊迭代法对初始值要求较高，参考轨道与目标轨道之间差异较大时，以上经典三体Lambert算法难以收敛。

本文提出一种利用遗传算法寻找参考轨道的方法，使其更接近目标轨道，然后再利用三体Lambert算法求解。参考轨道的起始位置为追踪航天器的位置，只需求解该位置的速度增量Δv，使参考轨道的终端位置Pos′end与交会位置Posend的距离最小。同时，参考轨道的形状应尽可能接近Halo轨道的形状。将参考轨道上的位置等时间离散化Pos′i，计算各离散点与对应Halo轨道上位置Posi的距离，将这些距离的均值与终端位置的距离之和作为目标函数。因此，设计变量为式（14）：

目标函数为式（15）：

式中n为离散点的个数。利用遗传算法求解，使J最小。把此时得到的参考轨道带入基于牛顿-拉夫逊迭代的三体Lambert算法，即可求得目标转移轨道。改进后的三体Lambert算法的求解流程如图2所示。

图2 改进后的三体Lambert算法的求解流程图Fig.2 Flow chart of the improved three-body Lambert algorithm

4 同一Halo轨道不同相位航天器交会

设目标航天器运行在地月系L2点一条法向幅值为Az＝5×106m的北向Halo轨道上，追踪航天器的位置为z向最小值点。当目标航天器与追踪航天器的相位差分别为1°、3°、5°时，研究在不同转移时间下的燃料消耗情况。由于相位差较小，以目标航天器的轨道为参考轨道，利用三体Lambert算法求解。表1给出了不同转移时间下的速度增量。图3给出了追踪航天器与目标航天器相差为5°、转移时间为7.348 2天的转移轨道，图4给出了图3在xy平面的投影。由表1可以看出，在转移时间相同的条件下，初始相位差越大，所需的速度增量越大。

表1 不同相位差下不同转移时间对应的速度增量Table 1 Velocity increment of different transfer time corresponding to different phase angle

图3 追踪航天器转移轨道Fig.3 Transfer trajectory of the chasing spacecraft

图4 追踪航天器转移轨道（xy平面投影）Fig.4 Transfer trajectory of the chasing spacecraft（xyplane projection）

5 不同Halo轨道航天器交会

为了测试算法的有效性，下面研究不同Halo轨道之间转移的情况。设目标航天器运行在法向幅值为Az＝5×106m的北向Halo轨道上，追踪航天器分别从三条不同幅值的Halo轨道向目标Halo轨道转移。追踪航天器的起始位置都位于Halo轨道z向最大值点，目标航天器与追踪航天器的相位差为10°，在转移时间相同的条件下（4.322天），分别计算其所需的速度增量。参考轨道的起点为追踪航天器所在Halo轨道上相位超前追踪航天器10°的位置，参考轨道的终点由该Halo轨道上起点预报转移时间得到。表2给出了从不同轨道出发所需的速度增量。图5给出了由法向幅值为Az＝1.1×107m的轨道到目标轨道的转移轨道，图6给出了该轨道在xy平面的投影。

表2 从不同幅值Halo轨道出发所需的速度增量Table 2 The required velocity increment from Halo orbits with different amplitudes

从表2可以看出，在相位差和转移时间相同的条件下，初始Halo轨道与目标Halo轨道的法向幅值相差越大，所需的速度增量越大。

图5 不同Halo轨道间转移轨道Fig.5 Transfer trajectory of different Halo orbits

图6 不同Halo轨道间转移轨道 （xy平面）Fig.6 Transfer trajectory of different Halo orbits（xyplane）

6 长时间转移轨道求解

经典三体Lambert算法严重依赖参考轨道的性态，在求解式（12）时，需要计算参考轨道状态转移矩阵的逆阵，如果该矩阵出现严重的病态，则会出现迭代发散的情况。例如，计算同一Halo轨道上两航天器交会所需的速度增量，目标航天器运行在地月系L2点一条法向幅值为Az＝5×106m的北向Halo轨道上，追踪航天器的位置为z向最小值点。当追踪航天器与目标航天器相差为5°，转移时间为9.5095天时，直接使用三体Lambert算法求解，会出现迭代发散再收敛的情况，但是已严重偏离了参考轨道。表3给出了分别使用经典三体Lambert算法和改进后的三体Lambert算法计算得到的速度增量。使用改进后的三体Lambert算法计算得到的速度增量大大减少。图7给出了转移时间为9.5095天时使用经典三体Lambert算法求得的转移轨道。图8给出了使用改进后的三体Lambert算法求得的转移轨道。

表3 分别使用两种方法得到的速度增量Table 3 Velocity increment computed by two different methods

图7 基于牛顿-拉夫逊迭代的三体Lambert算法求解的转移轨道（xy平面）Fig.7 Transfer trajectory computed by Newton-Raphson iteration three-body Lambert algorithm （xyplane）

图8 改进方法得到的转移轨道（xy平面）Fig.8 Transfer trajectory computed by the improved method （xyplane）

7 结论

本文利用三体Lambert算法研究了地月系L2平动点轨道交会问题，分析了同振幅不同相位交会与不同振幅交会等情况。分析结果表明，在转移时间相同的情况下，同振幅交会的初始相位差越大，所需的速度增量越大。在满足安全性的条件下，追踪航天器和目标航天器的相位差应尽可能小。对于不同Halo轨道之间转移的情况，在航天器相位差和转移时间相同的条件下，追踪和目标轨道的法向幅值相差越大，所需速度增量越大。因此，追踪航天器应选择与目标航天器所在Halo轨道幅值相差较小的轨道作为停泊轨道。针对三体Lambert算法存在的问题，提出了利用遗传算法求解参考轨道的方法，计算结果表明，该方法能够有效解决长时间转移三体Lambert算法收敛性差的问题。

本文提出的方法及分析的特性同样适用于其他平动点轨道，可为未来平动点空间站的建设提供参考。

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（责任编辑：龙晋伟）

Rendezvous Trajectory Design of Libration Points Based on Three-body Lambert Algorithm

SUN Yu1，2， ZHANG Jin1∗， LUO Yazhong1
（1.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073， China；2.The State Key Laboratory of Astronautic Dynamics， China Xi’an Satellite Control Center， Xi’an 710043， China）

V412.4

A

1674-5825（2017）05-0608-06

2016-08-15；

2017-07-27

国家自然科学基金（11402295）；国防科学技术大学科研计划项目（JC14-01-05）

孙俞，男，硕士研究生，研究方向为航天器轨道动力学。E-mail：2010027109sunyu＠ sina.com

∗通讯作者：张进，男，博士，讲师，研究方向为航天飞行任务规划。E-mail：zhangjin＠nudt.edu.cn