习题讲解与数学思维品质的培养

张宏英

思维是人脑对客观现实的概括和间接反映，数学思维就是数学地思考和解决问题的思维活动形式，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。培养数学思维能力的方法多种多样，本文以习题的讲解为例谈一谈对数学思维品质的培养。

（一）开阔解题思路，培养思维的广阔性

教学中针对典型的数学题目，进行扩充与变式，使学生多角度对已做习题产生新意与领悟，以便使学生更加深刻的认识所学的知识，突破知识的固定性，从而有利于培养思维的广阔性。

例如，在不等式部分有这样一个题目：已知x，y∈R+且满足x+y+3=xy，求的xy取值范围.

学生的解答思路主要有以下几种

思路1：均值定理

思路2：函数法

思路3：

首先我充分肯定了学生以上的证法，然后又点拨学生发现以下思路：

思路4：

最后组织学生对以上证法进行比较、鉴别、讨论，使学生认识到思路1和思路3实质上利用了均值定理的方法，思路2联想到函数的方法，将变成一个变量的函数，思路4由条件x+y+3=xy为方程，使我们联想到方程思想，利用方程有解的条件进行求解。

（二）变式训练，培养思维的深刻性

所谓思维的深刻性，是指在分析问题与解决问题是抓住问题的实质以及问题的相互联系的一种思维品质。针对此问题特点在讲解试题时就要体现“题目的变更”，主要应从解题思路题目结构两方面把典型问题变迁为循序渐进的系列题目，使学生学会一题会一类题，做一道题从而会一系列题，全面的掌握知识结构，有利于培养学生思维的深刻性。

例如，对这样一个问题：

例1：四个数，前三个数成等差数列，它们的和为9，后三个数成等比数列，它们的和为39，求这四个数？

思路1：可设四个数为a 、b、c、 d其中2b=a+c， c2=bd化为解四元二次方程组；

思路2：可设b，b-d，b+d， ，其中很快得b=3，化为解一元二次方程。

在讨论解题方法的基础上，可作如下改动：将原题改为：五个数，前四个数成等差数列，它们的和为0，后三个数成等比数列，它们的和为39，求这五个数。通过变式练习，使学生掌握这一系列问题实质，就是把求解数列的问题转化为求解方程的问题，而且关键是未知量的选择，怎样设未知量才能简化方程。学生对此有深刻理解，思维的深刻性就提高了。

例2：在圆x2+y2=16上有动点M，圆内有定点N（2，0），求线段MN中点A的轨迹方程。

分析：设A（xA，yA），M（xM，yM），利用中点坐标公式得：

变形得：xM=2xA-2 ，yM=2yA，代入圆方程得轨迹方程为（x+1）2+y2=4

若把题设条件中的“圆”变换为椭圆、双曲线或抛物线，解题思路不变。若把题设条件中“圆内有一个定点”改为圆外或圆上有一个定点，解题思路同样也不变。若把结论“求中点的轨迹方程”改成求分线段MN成定λ的点的轨迹方程，解题思路也基本相同。通过这样的变换训练，同一个解题方法应用在不同条件下进行多次求解，增大了思维触及面，学生思维的深刻性得到了较好的提高。

（三）数形结合训练，培养思维的创造性

数和形是数学教学研究的两方面，将数量关系和空间图形结合起来去思考问题、处理问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的共同发展，沟通数学知识之间的关联，从复杂的数量关系中找寻最本质的特征。

例1：已知等差数列的第p项为q，第q项为p（p>q），求它的p+q项和第p-q

项解：设A（p，q），B（q，p）为平面上的两点，则直线AB的方程为 ，即y=p+q-x，将上式中的换成x∈R，换成n∈N，得y=an，an=p+q-n此即为数列的通项公式。

∴ap+q=0，ap-q= 2q

例2：求1 + 3 + 5 + 7 + … + 89 = ？

运用小高斯的计算方法，该题的结论很容易得到，但这样的算法局限于一般的计算。通过对问题的进一步研究，使我们得到以下两种运算方式：

思路1：

1=1×1

1+3=2×2

1+3+5=3×3

………………

1+3+5+…+89=45×45

思路2：

由于 1=1×1×1

3+5=2×2×2

7+9+11=3×3×3

………………

73+75+…+89=9×9×9

所以，

1+3+5+…+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+9×9×9=13+23+33+…+93.

由特殊到一般，我们可以把上述运算作一般性的推广，从而开阔学生的解题思路。然而，其真正的用意却在于：

在思路1中，等式右边的1×1、2×2、3×3、……、45×45，可以看做边长为1、2、3、……、45的正方形的面积，因此，求1+3+5+7+…+89的和，等相當于求边长为45的正方形的面积。

在思路2中，等式右边的1×1×1、2×2×2、3×3×3、……、9×9×9，可以看做棱长为1、2、3、……、9的正方体的体积，求1+3+5+7+…+89的和，等相当于求棱长分别为1、2、3、……、9的正方体的体积的和。

该例题，对加数加以转化，将数与图形有机的结合，用对应的几何关系来解释数量关系，使复杂问题变得直观形象，学生易于观察到问题的本质，从而解决问题。把数量关系与空间形式形象直观的密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭示问题的深层结构，达到解决问题的目的，就是数形结合思想。著名数学家华罗庚说过，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

解决数学问题时，追求数与形的和谐统一性，常常会产生意想不到的解法，不落俗套，这就是创造。可见，加强数形结合训练，学生既享受到了数学和谐统一之美，又培养了数学思维的创造性。

在数学教学中，教师应当通过多种手段全面促进学生数学思维品质的发展，不能以偏盖全。同时，在数学教学中使学生养成良好的思维品质，是一项漫长而艰巨的工作，需要教师不懈的努力，对学生进行全面的锻炼与培养，才会有较大突破。■endprint