p-Laplacian椭圆型方程解的不存在性问题研究

朱胜兰，李涛会

(无锡城市职业技术学院 无锡环境科学与工程研究中心， 江苏 无锡 214153)

p-Laplacian椭圆型方程解的不存在性问题研究

朱胜兰，李涛会

(无锡城市职业技术学院 无锡环境科学与工程研究中心， 江苏 无锡 214153)

p-Laplacian椭圆型方程；Pohozaev恒等式；解的不存在性

Keywords: p-Laplacian elliptic equations; Pohozaev constant equation; nonexistence of solutions

利用Pohozaev恒等式来证明偏微分方程没有非平凡解始于1965年Pohozaev在文献[1]中关于二阶半线性椭圆型方程齐次Dirichlet问题的正则解建立的积分恒等式。由于Pohozaev恒等式在研究解的不存在性的同时也就得到了解存在的必要条件，从而引起了国内外学者的重视，并被积极地推广。

本文我们主要讨论下面的p-Laplacian椭圆型问题

(1)

不存在非平凡解。

关于问题(1)解的存在性和非存在性及其多解性的研究已经取得了丰富的成果。

2008年， Lari在文献[2]中又研究了问题(1)在f(x,u)=p(x)uα+q(x)uβ时，即

Δu=p(x)uα+q(x)uβ

(2)

整体解的存在性和不存在性。这里0<α≤β，p,q是非负连续函数。笔者通过研究得到如下结果：

1) 假设0<α≤1<β且函数p,q满足条件

(3)

2) 若方程Δv=q(x)vβ(β>1)没有非负整体大解，那么半线性椭圆方程(2)也没有非负整体大解。

另外，在文中 Lari还证明了方程

Δu=u+e-|x|uβ(β>2)

(4)

也没有正的整体大解。

最近， Wu在文献[3]中对式(1)中的

(5)

解的存在性问题进行了探索，笔者通过变分方法发现其在满足一定条件时在RN上存在多个正解。这里1

与上面文献不同的是：本文主要是利用Pohozaev恒等式来证明几类p=2的p-Laplacian椭圆型方程解的不存在性。

1 主要结论

(6)

(7)

(8)

注意到

(9)

(10)

那么对于等式(8)有

(11)

(12)

注意到

(13)

所以

(14)

(15)

即存在rn→∞使得

(16)

下面用反正法来证明结论式(15)。

(17)

那么就可以取rn=r0+n,n=1,2,3,…，当所有n→∞时，rn→∞且r0

(18)

所以有

(19)

在式(14)中取r→∞得

(20)

结论得证，到此，定理1的证明全部结束。

定理2 假设定理1中的条件满足，且f(x,u)∈L1(R1)，若存在α∈R1,u≠0，使得

(21)

则方程

-Δu+f(x,u)=0x∈R

(22)

没有非平凡解。

2 实例认证

下面用一个具体的例子进行说明。

例如：在全空间上考虑方程

(23)

这里，1

证明：由式(23)知此时式(6)中

所以

(24)

(25)

则可以得到

(26)

所以

(27)

从而可得

(28)

那么根据所给的条件，方程(23)在下列3种情况下于空间εr,s内均无平凡解：

1)r<2*，s<2*，λ1,λ2≥0；

2)r>2*，s>2*，λ1,λ2≥0；

3)r<2*，s>2*，λ1,λ2≤0。

3 结束语

本文首先介绍了由Pohozaev 提出的恒等式，然后运用它证明相关的p-Laplacian椭圆型方程解的不存在性，得到更广泛的解存在的必要条件，并给出了一些具体的实例来验证结论。

[1] POHOZAEV S.Eigenfunctions of the equation Δu+λf(u)=0[J].Soviet Math Dokl,1965(6):1408-1411.

[2] LAIR A V.Large solutions of mixed sublinear-superlinear elliptic equations[J].Math Anal Appl,2008,346:99-106.

[3] WU T F.Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in RN involving sign-changing weight[J].Funct.Anal.,2010,258:99-131.

[4] MOSCHINI L,POHOZAEV S I,TESEI A.Existence and nonexistence of solutions of nonlinear Dirichlet problems with first order terms[J].Journal of Functional Analysis,2000,177:365-382.

[5] OTANI M.Existence and nonexistence of nontrivial solution of some nonlinear degenerate elliptic equations[ J].Funct Anal,1988,76:140-159.

[6] STRUWE M.Variational Methods[M].Berlin:Springer-Verlag,1996.

[7] WAGNER A.Pohozaev identity from variational viewpoint[J].Math.Anal.Appl.,2002,266:149-159.

[8] AN T Q.Non-existence of positive solutions of some elliptic equations in positive-type domains[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:681-685.

[9] DE PAIVA F O.Nonnegative solutions of elliptic problems with sublinear indefinite nonlinearity[J].Journal of Functional Analysis,2011,261:2569-2586.

[10] 朱胜兰.P-Laplacian 椭圆型方程的整体解[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2013,27(4):138-142.

[11] LARI A V,WOOD A W.Large solutions of sublinear elliptic equations[J].Nonlinear Anal,2000,39:745-753.

[12] LARI A V,WOOD A W.Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems[J].Diff.Equat,2000,164:380-394.

(责任编辑何杰玲)

StudyontheNonexistenceofSolutionsforP-LaplacianEllipticEquation

ZHU Shenglan, LI Taohui

(Wuxi Environmental Science and Engineering Research Center, Wuxi City College of Vocational Technology, Wuxi 214153, China)

2016-12-14

国家自然科学基金资助项目(11201115); 江苏省科技厅基础研究计划(自然科学基金)——青年基金项目(BK20140126)

朱胜兰(1984—)，女，博士，讲师，主要从事偏微分方程研究，E-mail:zhushenglan2164@126.com。

朱胜兰，李涛会.p-Laplacian椭圆型方程解的不存在性问题研究[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(9):200-204.

formatZHU Shenglan, LI Taohui.Study on the Nonexistence of Solutions for P-Laplacian Elliptic Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(9):200-204.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.031

O29

A

1674-8425(2017)09-0200-05