数学文化视角下的中考试题赏析与思考

杨虎+吴学文

数学文化是人类文化的重要组成部分，一直受到数学教育家的普遍关注，近年来中考中蕴含丰富数学文化价值的试题也颇受各地命题者的青睐。本文以近两年部分省市的中考题为例，赏析中考试题中蕴含的数学文化。

一、镶入中国古代数学文化

世界上每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古代中国也不例外，其传统数学有着辉煌的成就。中国古代数学强调实用为主，却也在算法上得到了长足的发展。《九章算术》中的“勾股”；《周髀算经》中的“赵爽弦图”，都以算法见长；《易经》中的方法论、计数原理；《算法统宗》里的方程与不等式思想；杨辉（贾宪）三角以及负数的运用、解方程的开根法，祖冲之的圆周率计算都是我们宝贵的民族数学文化。

例1（2016年孝感）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何。”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步。”该问题的答案是 步。

分析：根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再由公式[r=a+b-c2]确定出内切圆半径，进而得到直径。

赏析：《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。其中第九章“勾股”，利用勾股定理求解的各种问题，绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。本题正是以当时人们的生活为背景提出的数学问题，对学生应用数学知识解决生活问题的能力起到了很好的训练。这里求解看似信手拈来，实际上要顺利解决本题，要求学生对勾股定理以及直角三角形的内切圆的半径公式熟练掌握才行。

例2（2016年孝感）如图1是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么[tan∠ADE]的值为 ？

分析：小正方形EFGH面积是[a2]，则大正方形ABCD的面积是[13a2]，则小正方形EFGH边长是[a]，则大正方形ABCD的边长是[13a]，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用正切函数即可解答。

赏析：《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作。它在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用，以及怎样引用到天文计算。三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，并创制了一幅“勾股圆方图”，利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，给出了勾股定理的详细证明。故图1也称为“赵爽弦图”。其既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。本题以“赵爽弦图”为平台，考查了正方形的性质、正切函数的定义等知识点，渗透了数形结合的数学思想方法。

例3（2016年绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图2，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）。

A.84 B.336 C.510 D.1326

分析：本题主要考查规律探索，因为“满七进一”，所以从右往左依次排列的绳子，分别代表结绳数乘以7的0、1、2、3次幂的天数。

赏析：以《易经》规律为源头的中华传统文化的世界观和方法论包含了：对立统一、阴阳互根、阳逆阴顺、此消彼长、物极必反等规律以及中华文化的核心和精髓——和谐意识。其中结绳计数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：“数”者，图结绳而记之也。本题镶入“结绳计数”是对学生幂的运算的考查以及“满七进一”的进制的理解。

二、嵌进世界历史中的数学文化

中考试题中嵌进很多世界历史中的数学文化名人、轶事、名题有关的数学知识，融知识性与趣味性一体，让人耳目一新，给学生提供一个“面向世界”数学的平台。

例4（2016年株洲）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为[2]的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= 。

分析：“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点，若给定一个△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小，这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。基于这些理解，学生能正确作出图形，问题就顺利得到解决。

赏析：皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，其对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献，故被誉为“业余数学家之王”。“费马点”在生活中有重要的应用，例如“有三个城市，要盖一个交通中心，到这三个城市的距离最短”就属于这一类型的问题。数学来源于生活，需要我们有一双善于发现的慧眼。

例5（2015年常州）数学家哥德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想。

4=2+2； 12=5+7；

6=3+3； 14=3+11=7+7；

8=3+5； 16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；

……

通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）。

分析：本题是一道以数学家哥德巴赫为背景的新颖试题，其实质是通过已知的幾个式子寻找规律，再用文字表达。当然试题直接渗透了对数学主流文化的考查，如果学生喜欢课外阅读，知道哥德巴赫猜想的话，就可以直接写出答案。endprint

赏析：谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，与谢尔宾斯基三角形基本类似，不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造， 而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造。其将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。本题是通过几何图形的变化，要求学生从面积关系上寻找规律，图形越“挖”越复杂，重复进行达到极限。

三、数学文化渗透教学的思考

1.重视数学文化的教育价值及意义

数学文化在本质上体现了文化整体育人的基本要求，也是素质教育的基本要求。随着课改的持续推进，对数学文化的研究也更加深入。中小学课堂中数学文化已渗入实际数学教学，旨在让学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

数学文化渗透了数学这一门学科发展的规律与文化本质，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及数学科学的发展对整个人类文明所带来的影响。因此在数学教学中给学生渗透数学史中的重大事件、名人、趣事，不但可以增强学生的学习兴趣，而且可以使学生受到科学方法论的启迪，培养正确的数学观、价值观，通过数学文化的熏陶，促进学生健全人格的形成，其意义十分重大。

2.正视数学文化的教育路径与手段

注重数学文化的育人功能是素质教育的一种美好的理念，在具体实施过程中还需各方努力。特别是一线教师，数学文化的教育实施还有好多工作要做，如何让所有学生一样体验并领会数学的文化性，提高每一位学生的数学文化素养，引导学生更好地适应课程改革中不断出现的变化创新和素质教育的新需求等，這些问题将有待于教育专家、一线教师在实践中继续不断探索和总结。数学文化教学，也绝不是教学生简简单单地死记硬背几条数学文化知识，而是要遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重数学文化在数学教学中的创造性转化和创新性发展，不断地挖掘、创造性地开展教学。

笔者以为，在中考试题中渗透数学文化，是新课程理念下数学学科内容与能力改革考查的目标之一。近几年来，中考数学试题在数学文化的考查上作出了大胆的尝试，诸如本文所列举的题目都是各地中考数学文化试题的典范。但是试题的考查方式与内容还是显得过于单一，所以笔者还是继续呼吁中考试题在渗透数学文化时，应当注意与数学知识的有机结合，注重体现数学理性思维的本质内涵，通过创设新的情境、改变设问方式、选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化。当然我们也期待更多的专家、教师编撰更多的有思想、有意义、有价值的数学文化题目来，让数学文化试题的考查更加厚重，有内涵。

（作者单位：甘肃省陇南市礼县职业中等专业学校；甘肃省陇南市西和县太石河乡崖湾小学）

责任编辑 陈建军endprint