巧用数学作嫁衣 十字交叉速解题

李发刚

十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分计算的一种简便方法，在高考中用于解决混合气体的平均相对分子质量及组成、同位素原子百分含量、混合烃的平均分子式及组成等问题。凡符合关系式M1×a+M2×b=M（a+b），均可运用十字交叉法，从而得到■=■（M>M2，M1>M）。

十字交叉法可表示为■。

式中，M表示混合物的平均量，M1、M2则表示两组分对应的量；a、b表示两组分在混合物中所占的份额。

一、速解同位素原子（或离子）的百分含量

典例1 某氯化钠由Na+、35Cl-和37Cl-构成，在熔融条件下，用惰性电极使1mol这种氯化钠电解，阳极产生的气体对甲烷的相对密度为4.525，则这种氯化钠晶体中35Cl-的数目占氯离子总数的（ ）

A.25% B.40% C.60% D.75%

【思维分析】本题乍一看，难以下手。但若注意到氯化钠是由氯的两种同位素离子构成，就可以想到先求出氯元素的平均相对原子质量，再用十字交叉法计算两种离子的个数比。

【解析】用惰性電极电解NaCl，阳极产生氯气，其相对分子质量为4.525×16=72.4，则氯元素的平均相对原子质量为36.2，根据十字交叉法可得：

所以35Cl-的数目占氯离子总数的百分比为■×100%=40%。答案：B

【解法点睛】计算同位素原子（或离子）的个数之比或物质的量之比时，一般都可运用十字交叉法。该方法运用于二组分混合物的计算时，在代表二组分的两个量和它们的平均值之间的十字交叉图中要对角线找差值，横向看结果。

二、速解混合气体中的体积比问题

典例2 乙烷和丙烷的混合气体在氧气中完全燃烧后，将产物通过浓硫酸，浓硫酸增重3.06g，然后通过过氧化钠，过氧化钠的质量增重3.36g，则原混合气体中乙烷和丙烷的体积之比为

（ ）

A.2：3 B.3：2 C.1：1 D.1：2

【思维分析】本题的常规解法是设未知数，然后根据反应方程式及差量法，列出有关CO2和H2O的量的方程组，最后求解。此法代入计算的数值不是整数，解方程容易出错。若根据十字交叉法进行计算，则可以提高准确率。

【解析】混合气体燃烧生成CO2和H2O。浓硫酸的质量增加了3.06g，则n（H2O）=■=0.17mol。然后通过反应2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2，过氧化钠增加的质量相当于CO的质量，故n（CO2）=■=0.12mol，则混合气体中H、C的原子个数之比为■，用十字交叉法得：

此处平均值的含义是“混合气体中平均每摩尔碳原子对应的氢原子的物质的量”，即比值■为混合气体中乙烷和丙烷中碳原子的物质的量之比，则有■=■，故■=■，即为体积之比。答案：B

【解法点睛】计算混合气体中各组分的体积之比，一般可运用十字交叉法，其关键在于读懂平均值的含义，根据分母物理量得出比值的含义，必要时再根据题意进行转化。但该法不适用于不具有加和性的物理量，如求两种不同pH溶液混合后的pH。

三、速解混合溶液中的有关计算问题

典例3 1L 1.0mol·L-1NaOH溶液完全反应吸收0.80 molCO2气体，所得溶液中CO32-和HCO3-的物质的量之比为（ ）

A.1：3 B.1：2 C.2：3 D.3：2

【思维分析】由题意可知，本题中发生了两个反应：2NaOH+CO2=Na2CO3+H2O、NaOH+CO2=NaHCO3。常规解法是根据化学方程式列方程组求解，也可以根据原子守恒列方程组求解。若运用十字交叉法则可以提高解题效率。

【解析】溶液中发生的离子反应有：2OH-+CO2=CO32-+H2O、OH-+CO2=HCO3-。由题意知，平均每摩尔CO2气体消耗的OH-的物质的量为1.25mol。由十字交叉法得

故CO32-和HCO3-的物质的量之比为0.25：0.75=1：3。答案：A

【解法点睛】在化学反应中运用十字交叉法，应先弄清楚每个反应中的特定值，然后根据题给信息求出平均值，经求解得出比值。在计算过程中，还要弄清所得的比值是物质的量之比还是质量之比。当单位带有物质的量因素时（如摩尔质量、1mol有机物消耗氧气的量、1mol物质转移的电子、1mol物质的反应热、1mol有机物燃烧生成的CO2的量等），十字交叉法所得的比值一般是物质的量之比；当单位带有质量因素时（如溶液质量分数的计算等），十字交叉法所得的比值一般是质量之比。

编辑 任 壮