浅谈单位圆在三角函数中的应用

王芳芳++胡海光

摘要：新课程利用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，借助单位圆本身直观、形象、准确、方便等特點，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。因此，文章重新认识单位圆，重点探究它在新课程三角函数公式推导及解题中的应用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法，而且能激发学生的学习兴趣。

关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；应用

【中图分类号】G634.6

1 引言

新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆与三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象与性质，明白如何用单位圆与三角函数线研究问题，动态地分析和解决问题。

2 单位圆的认识

单位圆是新课标中刚引进的新概念，学生受旧教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。

2.1 用单位圆认识三角函数线

三角函数线的定义：

设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 ，

过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延

长线交与点 。

， ， .

我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。

2.2 单位圆上点的坐标定义三角函数的作用

用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点。

（1）利用单位圆定义了三角函数，而且圆具有很好的对称性；

（2）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性；

（3）有利于构建任意角的三角函数的知识结构。“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量的三角函数值与x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

2.3 用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义

用单位圆上点的坐标定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。

3 单位圆在公式推导和性质中的应用

3.1 在推导诱导公式中的应用

单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式。角 +α的终边与角α的终边关于原点对称，由角α的终边与单位圆的交点P1（x，y），知角 +α的终边与单位圆的交点为P2（-x，-y）。

推出诱导公式（二）：sin（ +α）=-sinα；cos（ +α）=-cosα；tan（ +α）= tanα

3.2 在三角函数性质中的应用

将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象。利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。

4 单位圆和三角函数线在解题中的应用

在高中数学中，引入了三角函数线，使三角函数具有了鲜明的几何特征。单位圆结合三角函数线，是研究三角函数一种数形结合的工具，若能恰当地利用它，往往能使问题解决显得直观、新颖，过程简捷明了，以下简要介绍它们的具体应用。

4.1 利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式

例1.利用单位圆解不等式3tanα+ >0

解：要使3tanα+ >0，即要tanα>- 如图1所示，由正切线可知 k - <α< k + ，（k ∈Z）所以，不等式的解集为（k - ，k + ），（k∈Z）

方法总结：数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题。

4.2 利用单位圆中的三角函数线求函数定义域

例2.求函数y= 的定义域

解：由 得

如图2所示，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解，所以，函数的定义域为{x|2k ≤x≤2 k + ，k∈Z}。

方法总结：首先要把不等式变为基本型（最简单的三角不等式），对于三角不等式组应分别确定区域，取其公共部分。

5 小结

通过以上总结单位圆在三角函数中的具体应用，让学生体验数形结合思想，进一步感受到用单位圆解题的简捷、直观、巧妙。因此，我们务必充分理解掌握单位圆的定义以及应用，为以后的学习做好铺垫.这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法，而且能激发学生的学习兴趣。

参考文献：

[1] 王铁军. 挖掘新课程中“单位圆与三角函数线”的教学功能[J]，2007.11.

[2] 高振球. 单位圆在高一数学中的应用[J]，2006.6.

作者简介：王芳芳，女（1985-），陕西宝鸡人，主要从事中学数学教学工作。endprint