数学模型的魔力

曹禄岩

阿基米德说：给我一个支点，我可以撬起整个地球。同样作为教师的我们几乎每天都在寻求、发现、创造、并利用可以撬动数学课堂的神奇支点，恰好数学模型为学生数学学习搭建了一个坚实的支点。

对于小学数学建模，由于小学生年龄小，思维层次比较低，所以并不是非要提升到真正建模的高度，而是从低年级开始培养学生建模的数学思想。小学数学新课标中倡导以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式，今天就以我执教的三年级数学广角《有趣搭配》一课为例，由浅入深来体会数学建模的无穷魅力。

一、浅近，凸显建模价值

怎样建立数学模型？建立什么样的数学模型？这就要求教师学会用智慧的眼光仔细寻找每个教学内容中隐藏的数学模型。如果一个老师不曾在这些方面思考过，那么这样的课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等就很难见到数学模型的影子，学生也永远不能感受到数学模型的力量。《数学新课程标准》中提到：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在搭配一课中，我选择了与学生喜爱的动画角色喜羊羊、美羊羊一起构建搭配模型让学生兴趣高涨，面对与自己生活实际密切相关的问题，他们自然会有自己的解决之道。

师：今天美羊羊准备去喜羊羊家做客，你能帮美羊羊搭配一下服装吗？搭配要求：一件上衣只能搭配一件下衣，看看用2件上衣和3件下衣搭配，一共有多少种不同的穿法？请同学们在图片上连一连。

生展示汇报

生1：我用T恤搭配蓝裤子、红上衣搭配蓝裤子、T恤搭配粉裙子、T恤搭配绿裤子、红上衣搭配粉裙子、红上衣搭配绿裤子，一共6种穿法。

生2：我先用T恤分别搭配三件下衣，再用红上衣分别和三件下衣搭配，也是6种穿法。

师：同学们同意他们的想法吗？

生：同意。

师：你觉得哪一种搭配方法更好，为什么？

生：我觉得第二位同学的方法好，这样很有顺序。

师：对，在搭配时我们可以先确定一个组长，然后有顺序的进行搭配。先确定第一件上衣当组长，有顺序的和3件下衣进行搭配；再确定第二件上衣当组长，有顺序的和3件下衣进行搭配。

师：同学们还有别的搭配方法吗？能不能用下衣来当组长呢？

生：可以先选蓝裤子当组长，分别和2件上衣搭配；再选粉裙子当组长，分别和2件上衣搭配；最后选绿裤子当组长，分别和2件上衣搭配。也能得到6种穿法。

师：看来同学们已经掌握了搭配的秘诀：确定组长，有序搭配，这样才能保证不重复、不遗漏。

第一阶段用连一连、说一说的形式对有几种搭配方法展开讨论和交流，并在相互启发和独立思考的过程中得出共有六种搭配方法。这是针对具体的、最原始的搭配问题进行发问，主要是激发学生的探究欲望，让学生自己找出最好的解决办法，向更高层次的学习迈进；第二阶段让学生比较、思考、选择， 通过不同搭配方法的比较，感悟有序搭配的好处，进一步明确搭配问题的结构模型，同时又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程。确定组长，有序搭配这个模型初步建立起来，虽然这个模型都很简单，但我们会发现最简单的也许就是最有价值的，它让学生拥有了一个思维的拐杖。这个过程中学生都能积极参与到数学学习活动中去，进一步增强了学生对数学的好奇心与求知欲，使所有学生都得到发展，获得成功的体验。

二、聚焦，凸显建模核心

正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决，核心问题都在于数学思想方法的运用，它是数学模型的灵魂。在数学建模的教学过程中要重视强调探究的过程，让学生通过观察、操作、分析、比较逐步形成自己的认识，最终用数学语言、数学符号概括锻造出数学模型的核心。

师：如果没有老师给你的图片让你来搭配，你有没有简单的好办法？

生1：可以用图形表示，○表示上衣，△表示下衣

先选第一个圆做组长，有顺序的和3个△搭配；再选第二个圆做组长，有顺序的和3个△搭配 。

生2：可以用数字表示，1、2表示上衣，3、4、5表示下衣

先选1当组长，有顺序的和3、4、5搭配；再选2当组长，有顺序的和3、4、5搭配。

生3：还可以用字母

生4：还可以用汉字

生5：……

在这个环节把课堂的活动权交还给学生，体验符号在记录中的作用，提炼搭配模型的核心。由于是自己劳动所得，学生兴趣盎然，一个个优秀的设计方案让人赞不绝口、耳目一新。整个过程，充分体现了学生的主体作用，使学生真正成为学习活动的发现者、研究者、探索者。如果说前两阶段搭配帮助学生实现完整的模型建构，第三阶段就实现形式化的数学知识向模型核心的复归。只有这样，才能让学生领略到知识大厦顶峰的风光无限，洞察根基深处的牢固奥秘，真正聚焦知识背后的数学思想，让建模的思维轨迹深深镌刻在自己的知识体系。创设再次动手操作情境，品尝到了成功的喜悦，激发学习的动力源泉。这样学生对知识的掌握就比较牢固了，并能灵活运用，既训练了学生的数学思维，又培养了学生从生活中挖掘数学的意识。

三、纵深，凸显建模内涵

模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题。成功的构建好数学模型后，引导学生运用数学模型，解决数学学习及现实生活中遇到的简单的与数学有关的问题是数学模型的生命力量的体现。

学生探索研究建立了搭配模型后，我又有梯度的设计了四个练习：

从三个数字中选两个数可以组成多少个不同的两位数；

用三个数字可以组成多少个不同的三位数；

从喜羊羊家经过羊村学校到懒羊羊家一共几条路线；

懒羊羊一共准备了多少种饮料和食品的不同搭配？

通过四个练习中实际应用，模型应用越来越熟练，最后学生惊奇的发现不用连线、不用数就可以直接用算式算出一共有多少种不同搭配方法。梯度练习的呈现，同时是变式练习，打破孩子的固有思维，丰富孩子的认识，开阔孩子的视野，数学模型在应用中得到了提升。

“认识模型——建立模型——應用模型”这个过程中学生体验了数学模型的每个环节，一步一个脚印的走来，学生不仅通过自己的努力建立了搭配模型，还体会到了发现、创造所带来的成功体验。站在高点再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，由此而产生的魔力，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。

数学模型形成是建立在经历的基础上的，教师平时课堂上舍得时间，舍得力气挖掘学生的潜能，让学生在自主实践中张开智慧的翅膀，使数学模型成为他们放飞潜能的天空，从而赋予数学模型生命的色彩，相信学生会成功利用好这个支点来撬起数学地球。endprint