中考中的全等三角形问题

李苏娟

中考中的全等三角形问题

李苏娟

全等三角形是初中几何中的重点内容，也是中考命题的热点素材.在每一份中考试卷中，与全等三角形相关的内容都占有一定的比例，其主要题型有：

一、直接证明三角形全等

例1（2017·广东广州）如图1，点E、F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.

图1

【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用“SAS”证明两个三角形全等.

【证明】∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.在△ADF和△BCE中，∵AD=BC，∠A=∠B，AF=BE，∴△ADF≌△BCE（SAS）.

【说明】本题考查直接证明两个三角形全等，解题中要注意两点：一是线段AE与BF不是两个全等三角形的对应边，而是其中的一部分，因此必须先由它们推导出对应边AF与BE相等；二是要正确选择判定方法，按照判定方法的顺序书写全等的条件.

二、证明三角形的元素(边或角)相等

例2（2017·湖北黄冈）已知：如图2，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM.求证：∠B=∠ANM.

图2

【分析】因为∠B与∠ANM分别分布在△ABD与△ANM中，所以只要利用“SAS”证明△ABD≌△ANM，即可得到结论.

【证明】∵∠BAC=∠DAM，∴∠BAC-∠CAD=∠DAM-∠CAD，即∠BAD=∠NAM.在△ABD和△ANM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，∴△ABD≌△ANM（SAS），∴∠B=∠ANM.

三、证明两线垂直（或夹角为90°）

例3（2016·湖北荆门）如图3，在Rt△ABC中∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.

图3

图4

（1）补充完成图形；

（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°.

【分析】（1）根据题意补全图形，如图4所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF∥CD，得到∠EFC为直角，利用“SAS”得到△BDC与△EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证.

【解】（1）补全图形，如图4所示；（2）由旋转的性质得∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD.∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°.在△BDC和△EFC中，DC=FC，∠BCD=∠ECF，BC=EC，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°.

【点评】利用三角形全等是证明两个角相等的重要方法，进而可以证明两线垂直.当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角对得到相等线段和相等角的作用.

四、证明线段的倍分关系

例4（2015·四川南充）如图5，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF＝2CD.

图5

【分析】（1）根据AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°，结合∠AFE=∠CFD得出∠EAF=∠ECB，从而得到△AEF≌△CEB；（2）由△AEF≌△CEB得到AF=BC；再由AB＝AC，AD⊥BC，AD= AD，可以证明△ABD≌△ACD，可得BC=2CD，从而得出AF=2CD.

【证明】（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF=

∠CEB=∠ADC=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°.又∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF=∠CEB，∠EAF=∠ECB，AE=CE，∴△AEF≌△CEB；（2）由△AEF≌△CEB，可得AF=BC.又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB=AC， AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴CD=BD，∴BC=2CD，∴AF=2CD.

【点评】证明线段间的倍分关系，通常转化为证明线段的相等关系.

五、解决生活实际问题

例5（2016·湖北宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下：

图6

如图6，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等.AC、BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.请根据上述信息求标语CD的长度.

【分析】如果能证明△BOA≌△DOC，就可以得到CD=AB，问题即可获解.由题意可知，△BOA和△DOC具备了“角边角”（或角角边）的条件.

【解】∵AB∥DC，∴∠ABO＝∠CDO.又∵DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴BO=DO，∴△BOA≌△DOC（ASA）.∴CD=AB=20（米）.

答：标语CD的长度是20米.

【点评】用全等三角形的知识解决实际问题，要先将实际问题转化为数学问题，再应用全等三角形的判定方法与性质来解题.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）