证明三角形全等的基本思路

杭 静

证明三角形全等的基本思路

杭 静

对于两个三角形，如何证明它们全等呢？一般来讲，要找两对对应元素容易，比较困难的是找第三对对应元素.对照判定方法，我们可以把已知的前两对对应元素的所有情况列举出来：已知两个角、已知一边一角、已知两边.然后再来思考如何寻找第三对对应元素，这样可以得到下表：

应用的判定方法A S A或A A S A S A或A A S A S A或A A S S A S S S S S A S已知前两对对应元素的情况角、角角、边角与其对边角与其邻边边、边寻找的第三对对应元素边另一个角另一个角另一条邻边第三边两边的夹角

有了这份表格，探索三角形全等就有章可循了.

一、直接用判定定理寻找满足全等的条件

例1（2017·江苏常州）如图1，已知四边形ABCD，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.求证：AC=CD.

图1

【分析】要证AC＝CD，只要证AC、CD所在的△ABC和△DEC全等.而在这两个三角形中，已知BC＝CE，∠BAC=∠D，所以只要再证明∠BCA＝∠ECD即可.由题设∠BCE=∠ACD=90°，即可得到这个结论.

【证明】∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠BCA＝∠ECD.在△ABC和△DEC中，∵∠BAC=∠D，∠BCA＝∠ECD，BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD.

二、先构造三角形，再寻找满足全等的条件

例2（2017·重庆A卷）在△ABC中，∠ABM= 45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.如图2，点D是线段AM上一点，MD= MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点.求证：∠BDF=∠CEF.

图2

【分析】要证∠BDF=∠CEF，这两个角所在的△CEF和△BDF显然不全等，为此，需要构造全等三角形.注意到点F是BC的中点，延长EF到点G，使得FG=EF，可证得△BMD≌△AMC，得到AC=BD，再证△BFG≌△CFE，可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.

【证明】延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG.由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD.又CE=AC，因此BD=CE.由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，可得△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，∴BD=BG=CE，∴∠BDG=∠G=∠E.

（作者单位：江苏省无锡市河埒中学）