三角形全等条件的理解

杭永根

三角形全等条件的理解

杭永根

判定三角形全等的方法有“边角边”“角边角”“角角边”“边边边”，对于直角三角形全等的判定，除了上述方法外还有“斜边、直角边”，如何理解这些三角形全等的条件呢？下面对判定三角形全等的条件加以剖析，供同学们学习时参考.

一、边角边（SAS）

对于这个判定方法，同学们要注意4点：

第一，这个判定方法是作为公理给出的，尽管我们可以用画图试验的方法来验证它，但验证不等于证明（下面几个判定方法也是如此）.

第二，这个公理的条件是3个元素（两边和一对夹角）对应相等，即一个三角形的“边角边”对应着另一个三角形的“边角边”.这里“对应”两个字很重要，如果不注意，就可能出现下列情况：一个三角形是“边角边”，而另一个三角形是“边边角”，这样的两个三角形就不一定全等.

例如，图1中，AB＝DE，∠B=∠E，BC＝DF，但△ABC与△DEF就不全等.由此可知“对应”包含着顺序关系.

图1

第三，这个公理的条件中“相等的角”是指两条边的夹角（所以写成“边角边”），如果把夹角改成其中一边的对角（变成“边边角”），那么这两个三角形也不一定全等.

例如，图2中，虽然有∠B=∠B，AB=AB，AC= AE，但显然△ABC和△ABE并不全等.

图2

第四，根据这个公理可知，有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

二、角边角（ASA）

对于这个公理和推论，需要说明3点：

第一，这个公理的题设也是3个元素（两个角和一条夹边）对应相等，它是一个三角形的“角边角”对应另一个三角形的“角边角”.这里的“对应”仍然包含着顺序关系，不能含糊.

第二，“角边角”公理能够改变对应顺序，变成“角角边”或“边角角”，这时恰好是它的推论，只要有任意两个角和一边对应相等，这两个三角形就全等.但一定要注意“对应”二字.

如图3，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝EF（这两边不是对应边），所以△ABC与△DEF不全等.

图3

第三，由这个公理可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等.

三、边边边（SSS）

对于这个判定方法要注意以下几点：

第一，这个判定方法的条件也是3个元素（三条边）对应相等，由于只有三角形的三条边，所以应用这个判定方法判定两个三角形全等时，对边的书写顺序要求不严格.

第二，这个判定方法表明了这样一个客观事实：只要三角形三条边的长度确定了，它的形状也就确定了.这个性质叫做三角形的稳定性.我们在生产和生活中，随处都可以见到三角形稳定性的应用.

四、斜边、直角边（HL）

判定两个直角三角形全等的方法有：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”是直角三角形所特有的.分析“HL”定理，我们可以发现，它属于“SSA”型.但前面我们又已经知道，有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.那满足“SSA”型的两个三角形何时才能全等呢？

方法1：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角是直角时，这两个三角形全等.

方法2：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这个角是钝角时，这两个三角形全等.

方法2是说，在两个钝角三角形中，有两边对应相等，且这两条边之一是钝角的对边，则这两个三角形全等.如图4，在△ABC和△DEF中，AB= DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE＞90°，则△ABC≌△DEF.事实上，过B、E分别作射线AC、DF的垂线，垂足为M、N，由∠ACB=∠DFE，得∠BCM=∠EFN，又BC=EF，所以Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS），所以BM=EN.再由“HL”可以证明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D，再证明△ABC≌△DEF就容易了.

图4

方法3：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当这两边的夹角是钝角时，则这两个三角形全等.

如图5，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC= EF，∠ACB＞90°，∠DFE＞90°，∠A=∠D，则△ABC≌△DEF.事实上，分别过C、F作CM、FN的垂线，垂足分别为M、N，由∠A=∠D，AC=DF，可得Rt△ACM≌Rt△DFN，有CM=FN，再由CM=FN，BC=EF，由“HL”可得Rt△BCM≌Rt△EFN，有∠B=∠E，再证明△ABC≌△DEF就容易了.

图5

由上面的探索可知，满足“SSA”的两个非锐角三角形一定全等.

方法4：若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，当两个三角形都是锐角三角形时，这两个三角形全等.

如图6，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AB= DE，BC=EF，∠ACB=∠DFE，则△ABC≌△DEF.事实上，如图6，分别过点B、E作AC、DF的垂线，垂足为M、N，由∠ACB=∠DFE，BC=EF，得Rt△BCM≌Rt△EFN（AAS），所以BM=EN；再由“HL”可以证明Rt△ABM≌Rt△DEN，得∠A=∠D，再证明△ABC≌△DEF就容易了.

图6

你还有其他的方案吗？请写出来，与你的同伴进行交流.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）