两类二元函数芽的一个共同性质及其应用

熊宗洪,石昌梅,甘文良

(1.贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025)

(2.贵州师范学院数学与计算机科学学院,贵州贵阳550018)

(3.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春130024)

两类二元函数芽的一个共同性质及其应用

熊宗洪1,石昌梅2,甘文良3

(1.贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025)

(2.贵州师范学院数学与计算机科学学院,贵州贵阳550018)

(3.东北师范大学数学与统计学院,吉林长春130024)

本文主要研究二元C∞函数芽环中函数芽的性质问题.利用Mather有限决定性定理和C∞函数的右等价关系,获得了带有任意4次至k次齐次多项式pi(x,y),qi(x,y)(i=4,5,···,k)的两类函数芽的一个共同性质：若M2k⊂M2J(fj)(j=1,2)且f1,f2的轨道切空间的余维分布均为ci=1(i=4,5,···,k-1),则对这里的i,pi(x,y)中xyi-1,yi的系数和qi(x,y)中xi-1y,xi的系数均为零.最后,利用该性质,给出了f1,f2和一类余维数为7的二元函数芽的标准形式.

二元函数芽;有限决定性;共同性质;标准形式;余维7

1 引言及准备

设f∈M32⊂E2,则f的轨道切空间M2J(f)⊂M32,并考虑理想的序列套

En表示在O∈Rn处的C∞函数芽环;Mn是En中的唯一极大理想;Mkn是Mn的k次幂;是k次齐次多项式全体构成的实向量空间;jkf是f的k阶Taylor多项式.

定义1.1设f,g∈En,若存在一个微分同胚φ∈Ln(为点O∈Rn处的局部微分同胚群),使得g=f◦φ.则称芽f与g是右等价的.

定义1.2[2]f∈En称为有限k-决定的是指每一个与f有相同k阶Taylor多项式的芽g是右等价于f的.

引理1.3[3](Nakayama引理)设I是En中的有限生成理想,则I等价于

引理1.5[4]设f(x)∈En,对于任意给定的局部微分同胚φ,则(f)等价于(证明思路见文[4]p.76-77).

由引理1.4,1.5,若f是k-决定的,则凡是与f右等价的函数芽也是k-决定的.

2 两类函数芽的共同性质

于是

3 两类函数芽的应用

由右等价关系的传递性知h(x,y)右等价于标准函数芽x2y±yk,即f1右等价于标准函数芽x2y±yk,其中”±”依赖于f1中yk项的系数符号.

定理3.2函数芽xy2±xk右等于x2y±yk.

证只需考虑线性同胚φ：R2→R2,(x,y)→(y,x)即可.

这样一来,由定理2.1和定理3.1知f1和f2均右等价于标准函数芽x2y±yk.

定理3.3设f(x,y)∈M32是余维数为7的二元函数芽且其轨道切空间的余维分布为c3=c4=c5=1,c6=0,则f(x,y)的标准形式为x2y±y6,其中“±”依赖于f中y6项的系数符号.

[1]石昌梅,岑丽辉.余秩是2余维数为6的光滑实函数芽的分类[J].数学的实践与认识,2015,45(8)：253-260.

[2]Martinet J N.Singularities of smooth function and maps[M].London Math.Soc.Lec.Note Ser.58, Cambridge：Cambridge University Press,1982.

[3]Brocker T H.Dif f erentiable germs and catastrophes[M].London Math.Soc.Lec.Note Ser.17, Cambridge：Cambridge Press,1975.

[4]李养成.光滑映射的奇点理论[M].北京：科学出版社,2002.

[5]岑燕明.高阶Morse芽的存在性[J].数学杂志,2006,26(3)：283-286.

A COMMON PROPERTY OF TWO TYPES OF FUNCTION GERMS WITH TWO VARIABLES AND THEIR APPLICATIONS

XIONG Zong-hong1,SHI Chang-mei2,GAN Wen-liang3
(1.School of Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China)
(2.School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal College,Guiyan 550018,China)
(3.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun 130024,China)

In this paper,we mainly consider a property of function germs in the ring of C∞functions germs of two variables.Using the Mather’s theorem of fi nite determinacy and right equivalence of functions,a common property of two types of function germskwith some arbitrary homogeneous polynomials pi(x,y)and qi(x,y)(i=4,5,···,k)of degree from 4 to k is obtained.(j=1,2)and the codimension distribution of tangent space of orbits for f1,f2are both ci=1(i=4,5,···,k-1), the coefficients of xyi-1and yiin pi(x,y)are both zero,so are the coefficients of xi-1y and xiin qi(x,y).Finally,by this property,the normal forms of f1,f2and a class of function germs of two variables with codimension 7 are given.

function germs of two variables; fi nite determinacy;common property;normal form;codimension 7

O186.16

A

0255-7797(2017)05-1087-06

2016-01-04接收日期：2016-03-28

贵州省科技厅联合基金资助(黔科合LH字[2014]7378);贵州省数学建模及应用创新人才团队项目基金资助(黔教科研发[2013]405号).

熊宗洪(1982-),男,苗族,贵州思南,讲师,主要研究方向：奇点理论.

2010 MR Subject Classi fi cation：57R45