教师借题发挥，学生演绎精彩

董天龙

摘要：高中课堂教学中，如何将学生从苦苦挣扎的“题海“”中解脱出来，克服就提论题、模仿复制的传统解题模式，以适应培养创新性人才的供给侧需求，是摆在每一位数学教师面前的严峻课题。文章认为教师应引导学生从多角度、多层次地思考问题，充分发挥学生的优势智能，优化学生数学思维品质，让数学课堂教学充满生命气息，让教学过程成为师生的一段生命历程，此为数学在人生意义上的价值，也是数学核心素养培养的最高境界。

关键词：一题多变；学生个性；思维碰撞《新课标》强调：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。从高考改革的趋势来看，将来的高考试题会给思维能力强的考生留下充分施展才能的空间。这种思维能力主要体现在解题能力上，而解题能力的提高在数学复习课中，主要通过让学生在一题多解、一题多变、一题多用的思维训练中来完成，进而使其化归类型、探求规律、纵向挖掘、横向联系，真正成为复习课的主体，这才是符合新课改理念的课程观。

一、一石激起千层浪，学生思维相碰撞

如在高三复习《不等式证明》时，课堂上出示了一道题目：

模型1：已知a，b∈R+，且a+b=1，求证：a2+b2≥12.

师：同学们可敞开思维，广开思路，用不同的方法去证明，你能有多少种证法？

真是一石激起千层浪！同学们跃跃欲试，争先恐后。

生：（交流展示自己的“作品”）

法1（消元法），法2（作差法），法3（综合法），法4（分析法），法5（反证法），法6（判别式法），（此时，啧啧声不绝于耳）法7（均值换元法），法8（三角换元法），（教室里顿时一片欢呼）法9（解析法），法10（几何构造法）（掌声一个接着一个）法11（向量法）（真是青山遮不住，毕竟东流去！）

这里，智慧相互碰撞着，聪明相互传染着，这就是学生的潜能。打开这道闸门吧，学生的潜能将如花绽放，学生的个性将充分张扬，学生的智慧洪流将汹涌澎湃。

师：同学们，刚才问题的条件不变，你还能变换出什么结论？

生：不等式左边的形式有：整式型、分式型、根式型、和式型、乘积型……

师：同学们，再变换刚才题目的条件，由二元变为三元、四元…n元，结论又有何变化？

生：……（略）

师：解答就留给同学们去探索吧！同学们，刚才变角度，变出了绚丽多姿的解法；变结构，变出了一系列重要猜想；变条件，引申推广了若干有趣的重要结论。变，小到题目条件可变、结论可变，大到学习方法可变、学习兴趣可变，甚至人生可变！事实上，世界万物都在变，我们也需要改变。变，意味着创造；变，意味着进步；变，意味着创新。世界会因变而美丽，你我会因变而精彩！（同学们又一次情绪激昂地鼓起了不息的掌声）

试问，这样让学生的思维动起来，让学生的内心世界动起来，让学生的情感动起来的课堂，不正是唤起学生的生命主体意识的课堂吗？不正是我们广大教师的终生价值追求吗？

二、一花引来百花开，学生个性实难猜

模型2：在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=3，b+c=3，求当cosA+2cosB+C2取得最大值时的边b和c的长.

分析：这是根据高考题编制而成的，主要考查解三角形问题，涉及求三角函数的最值问题，实际上还是对公式的熟练应用；此题的关键在于用好条件“当cosA+2cosB+C2取得最大值”即它可以得到什么结论，属于探索性的问题.

师：如何改变条件，使所求结论保持不变？

真是一花引来百花开，同学们个个摩拳擦掌，争先恐后，学生的思维个性充分张扬，实在令人难以想象！

生1：在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=3，b+c=3，B+C=2A，求边b和c的长.

生2：在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=3，b+c=3，asinA+bsinC=bsinB+csinC，求边b和c的长.

生3：在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=3，b+c=3，cosCcosA=2b-ca，求边b和c的长.

生4：在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a=3，b+c=3， cosAcosC=a2b+c，求边b和c的长.

生：……（略）

师：以上这几位学生的变式与模型的最终结果是相同的，即对同一个问题采取了不同的设计方式，考查的角度变了，考查的效果却有着很大的差异性啊！

师：采用对比方法简单分析如下：

生1把条件“B+C=2A”看成是等差数列问题与三角形内角和定理相结合；生2的条件“asinA+bsinC=bsinB+csinC”要运用到正弦定理，而且还要进行是“边化角”还是“角化边”的正确选择问题；生3比生2的情景设置显得更丰满些，也是对条件“cosCcosA=2b-ca”的转化问题，但要比生2的思维含量高，因为既要把此条件进行“边化角”还是“角化边”的正确选择，还要进行是用“正弦定理”还是用“余弦定理”的正确判断；生4与生3基本相同；生5在条件“4cosA·sin2（π4+A2）=1+sin2A”的转化过程中虽然没有用到正余弦定理，但比生2在三角变换方面的要求更高，涉及到的三角公式比较多，对公式的灵活运用要求更高.从以上分析来看，通过模型及其变式对有关三角形问题的设置与解决方法进行了比较全面的分析，可以使学生对解决这类问题形成整体的印象，深刻的理解和掌握了这类问题的方法.

三、心有灵犀一点通，学生智慧真无穷

教学例题大多有其广泛的应用。一题多解，实现由“点到线”的变化；一题多变，又由“线扩大到面”的变化；而“借题发挥”，则进一步实现由“面到体”的变化。这样，例题教学便可多层次、广视角、全方位地进行研究与拓展，充分发挥其潜能。

模型3：已知：00，求证：a+mb+m>ab，我借题发挥，探索一题多用的复习价值

师：利用这个分式型“糖水不等式”能解决哪些问题呢？

真是心有灵犀一点通，打开这道闸门，学生的潜能如花绽放，学生的智慧洪流汹涌澎湃，真是势不可挡，无穷无尽！

生1：能解决分式型与真假分数有关不等式问题。

生2：可写出12与1之间的所有分母不大于10的分数。

12<59<47<35<58<23<710<57<34<79<45<56<67<78<89<910<1

生3：求证：123456……99100<110

生4：（1989年广东高考题）若0

A.cosb+ma+m

C. cosb-ma-m

生5：（1998年全國高考题）求证：

（1+13）（1+15）…（1+12n-1）>2n+12（n∈N，n≥2）

生6：（2001年全国高考题）

已知i，m，n∈N，且1

师：在今后的解题中还会找到更多的应用，这正好印证了华罗庚先生的名言：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍” 。

综上所述：教师在问题设计时，应注重借题发挥，一题多变、一题多解、多题一解，多题归一，以小见大，长此以往，可以完善学生知识网络，提升学生思维能力，此为数学的思维价值。同时，课堂上演绎的生命精彩，可让教学过程成为学生的一段生命历程，生命体验，此为数学的生命价值，这也是培养数学核心素养的必然选择！ （作者单位：山东省青岛市第二中学266061）