基于分数阶微分的超声斑点去噪*

邵党国， 周 婷， 刘 帆， 易三莉， 相 艳， 马 磊

(昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650500)

基于分数阶微分的超声斑点去噪*

邵党国， 周 婷， 刘 帆， 易三莉， 相 艳， 马 磊

(昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650500)

为了保留更多的纹理信息，构建了基于具有阻止扩散的梯度阈值k，和分数阶微分的阶数v平衡关系的分数偏微分方程的图像去噪模型，其有效结合了分数微积分理论和偏微分方程方法，并通过分数微分掩模算子实现了数值。超声体模信验和体内成像表明：基于分数阶微分的各向异性扩散方法可以提高组织的信噪比(SNR)和超声图像的质量。

各向异性扩散； 斑点去噪； 分数阶微分； 超声图像

0 引 言

斑点是超声图像的低对比度的病变检测的主要限制之一，被看作是一个噪声源，应减少。去噪组合中有许多图像滤波技术[1，2]，包括复合方法和快速形成的图像滤波方法。为了提高图像的质量，各种过滤技术已经发展到可以抑制散斑。其中，非线性过滤器最近受到越来越多的关注，因为其在保边缘或边缘增强的同时，还可以平滑均匀的图像区域。应用于医学超声的非线性边缘保持滤波器，包括顺序统计滤波[3]，局部统计滤波[4]，各向异性扩散滤波[5，6]。

图像去噪算法的主要目的是减少噪声,同时保留图像特征。Grünwld-Letnikov 和Riemann-Liouville是数字图像处理中最受欢迎的分数阶微积分定义[7]。Bai Jian等人提出在ROF去噪模型的基础上, 构建基于分数偏微分方程的图像去噪模型，其有效结合了分数微积分理论和偏微分方程方法[8，9]。Pu Yifei等人证明了基于分数微分的方法可以保留平滑区域低频轮廓特征。文献[10～12]的方法证明了保留高频边缘特性，并提高纹理细节。

为了获得降低散斑并同时保留组织结构的图像，本文提出了一种基于分数阶微分的各向异性扩散算法(FAD)。

1 方 法

分数阶微分是处理分形问题的一种有效的数学方法[13～18]。基于分数阶微分算子不仅可以非线性地保留在平滑区域的纹理特征,而且比基于整数阶微分的方法更有效,因此，在图像去噪能力方面比整数阶更具有优势。

1.1 分数阶微分的定义及其掩模算子的构造

(1)

式中 s(t)的持续期为t∈[a,t]；h=(t-a)/n为步长；v为分数阶的阶数；Gamma函数Γ(x)=(x-1)!。将信号持续期间按单位h=1进行等分，可得到n=[(t-a)/(h)]h=1=[t-a]，推导出s(t)分数阶微分的差分表达式为

(2)

式中 s(t)的分数阶微分算子使用简单的乘法和加法构造。可以观察到,只有第一个系数是常数“1”，其他系数均为关于分数微分阶数v的非零函数。非零系数分别为1，-v，-v(-v+1)/2，-v(-v+1) (-v+2)/6，…，Γ(-v+1)/((n-1)!(-v+n)),即非零系数的总和不等于0,这也是与基于整数阶微分处理之间的明显的区别。

1.2 分数阶微分散斑去噪

Perona和Malik[19]提出了一种基于各向异性扩散滤波模型,并构成了信号和图像增强的重要工具。Perona和Malik提出了下列平滑图像连续区域的非线性偏微分方程(PM模型)

(3)

(4)

根据式(2)构造分数阶微分掩模，首先将中心作用点定为掩模中心，为了使掩模算子具有旋转同向性，再向x方向(横向)的左、右和y方向(纵向)的上、下进行扩展，因此，可以得到3行3列的掩模，如图1所示。

图1 分数阶微分掩模算子

其中，v表示分数阶微分的阶数。通过实验分析，当v(0

图2和图3分别为体模超声图像和人体的肝脏和肾脏超声图像的FAD滤波结果。信噪比(SNR)，噪声比例差(CNR)和质量因数(FOM)值分别来自于一个大区域(20方格×20方格)。每个区域中，行为k[1，20]，列为v[0.1，2.0]。其中每组图中用曲线标识的特殊区域分别表示当k恒定时每行的SNR，CNR和FOM的较大值的集合，然后取三者的公共区域，最后得到其相对应的k，v组合值。图4所示为超声图像k，v关系的数据拟合曲线。幻影超声测试在英特尔Core2 3.20GHz及Matlab(MathWorks，Natick，MA)R2012b版本下进行。由数据拟合结果分析得出k,v关系表达式如式(5)

v=-0.000 558 5k2+0.122 7k-0.076 38

(5)

式中 v为分数阶微分阶数；k为阻止扩散的梯度阈值。对于拟合优度，误差平方和为0.468 8，均方误差为0.103 2，确定系数为0.964 4。

图2 人体肝脏超声图像的FAD 滤波结果

图3 人体肝脏和肾脏超声图像的FAD 滤波结果

图4 超声图像k-v关系的数据拟合曲线

2 实验结果

超声图像主要的两种图像质量指标，SNR和CNR，适用于幻影和体内图像。如式(6)所示

(6)

式中 u和σ分别为均值和方差的大小；b和 t分别为图像背景和组织。信噪比增长率(upSNR)和噪声比例差增长率(upCNR)，为两个图像质量度量的增长率，定义如下

(7)

为了比较不同的降噪方法的边缘保持性能，采用了Pratt的数字的优点(FOM)[5]，定义如下

(8)

式中nd为边缘像素测试噪声的数量图像；nr为在无噪声参考边缘的像素图像；di为边缘检测像素和最近的参考边缘像素之间的欧氏距离；γ为常数，通常设置为0.11。如果测得的图像接近参考图像，FOM值应接近1。标准差的高斯内核在Canny边缘检测被设置为0.1，本文将被提取的边缘采用Canny算子σ=2的图像。

根据各向异性扩散斑点抑制算法对超声图像的不同特性，将基于分数阶微分斑点噪声抑制算法和传统的3种去噪方法，即PM模型、斑点去噪各向异性扩散技术[4](speckle reducing anisotropic diffusion technique,SRAD)和细节保留各向异性扩散技术[5](detail preserving anisotropic diffusion technique,DPAD)进行比较。PM模型中，积分常数设为0.2，传热系数函数设为1。为了确保方法的稳定性，去噪过程迭代100次。SRAD方法中，平滑时间步长设为0.5，去噪过程中自适应地迭代100次。DPAD方法中，平滑的时间步长设置为0.8，自适应去噪迭代200次。本文算法中，除了分数阶微分阶数v其他的参数与PM方法一致。图5、图6中，(a)为原始超声图像；(b)为AD迭代100次的滤波结果；(c)为SRAD迭代100次的滤波结果；(d)为DPAD迭代200次的滤波结果；(e)为FAD迭代100次的滤波结果。为了在不同的应用程序微调分类特征，用户可以调整窗口大小和迭代次数。

使用SNR，CNR和FOM来评估数值的准确性。结果如图5、图6所示。为了减少分数阶微分估计误差，k，v满足平衡关系式：v=-0.000 558 5k2+0.122 7k-0.076 38，k∈[5，12]且为整数。SNR，CNR值来自一个小区域和一个大型的区域，使用黑色和白色方块显示的区域分别表示背景和感兴趣区域，对结构保留性比较，采用压缩FOM指标。

图5的SNR，CNR和FOM值如表1，图6的性能质量结果如表2，在比较去噪结果时，发现4种抑制噪声方法均可以消除大多数的同质区域的斑点，滤波图像的CNR和SNR值数量上是原始图像的几倍。图表分析得出，当k=9时，相应的v=1.0，即本文方法和PM方法结果相同。同时，当k∈[5，12]时，本文的方法能够在噪声抑制和边缘保留上有显著的优势。当k>20，PM方法的保边效果很差，FAD方法由于保留细节过多而导致SNR下降，但不影响保边效果，视觉上也可以接受；当k变化更大时，随着v的增大图像会逐渐出现纹理，所以直接影响了SNR，CNR值的大小；当k<5时，PM的去噪效果较差；一般来说，本文的方法中，斑点抑制和组织保留之间的平衡，即k，v之间的平衡尤为重要。

大量实验结果表明，基于本文提出的k，v关系式，实验产生了一个更好的可视化的结果，不仅有效减少了斑点噪声，同时维持了重要的诊断信息。结果表明：提出的FAD算法优于其他3个传统的过滤器(PM算法、SRAD算法、DPAD算法)。

图5 体模超声图像去噪结果比较

3 结 论

为了降低噪声和提高超声图像的质量，提出了一种基于分数阶微分的超声斑点降噪模型，该各向异性扩散算法平衡了分数阶微分阶数v和阈值k之间的关系。幻影和体内成像实验表明：本文方法可以减少斑点噪声同时有效地保留组织结构，而且比其他3种传统的方法更有优势。目前，正在寻找方法来进一步加快程序运行的处理。更多的体内图像将通过精细调整的算法和参数的优化来进行实验，而且进一步研究图像处理的应用也是必要的。

表1 SNR,CNR 和 FOM 值

表2 SNR，CNR 和 FOM 值

图6 人体肝脏和肾脏超声图像去噪结果

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相 艳，通讯作者，E—mail:23014260@qq.com。

Ultrasonic speckle denoising based on fractional order differentiation*

SHAO Dang-guo, ZHOU Ting, LIU Fan, YI San-li, XIANG Yan, MA Lei

(School of Information Engineering and Automation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

In order to preserve more texture information,the image denoising model based on fractional partial differential equations with balance relation between gradient threshold which prevents diffusionkand order number of fractional order differentiationvis constructed by effective combination of fractional calculus theory and partial differential equations method,and numerical is achieved using fractional differential mask operator.Ultrasound phantom testing and in vivo imaging show that the proposed method can improve the quality of an ultrasound image in terms of tissue SNR.

anisotropic diffusion; speckle denoising ; fractional order differentiation; ultrasound image

10.13873/J.1000—9787(2017)09—0139—04

2016—07—22

国家自然科学基金资助项目(61363043, 61163021)； 昆明理工大学省级人才培养项目(KKSY201303122)

TP 391

A

1000—9787(2017)09—0139—04

邵党国(1979-)，男，博士，硕士生导师，主要从事信息与图像处理，模式识别研究工作。