半结构法在中心对称结构计算中的应用1)

李 明 钟 豪

(湖南理工学院土木建筑工程学院，湖南岳阳414006)

半结构法在中心对称结构计算中的应用1)

李 明2)钟 豪

(湖南理工学院土木建筑工程学院，湖南岳阳414006)

半结构法是计算对称结构的一种简化分析方法，通常应用于轴对称结构.本文将探讨半结构法在中心对称结构计算中的应用问题，包括中心对称、反对称载荷作用下结构的对称性及其证明、等代结构形式及其应用等.算例表明，中心对称结构半结构法能够最大程度简化结构、提高结构计算效率，与其他方法联合应用的一题多解方法可丰富结构力学教学内容，有利于学生拓展其创新思维及分析解决复杂力学问题的能力.

中心对称结构，半结构法，对称性，等代结构

半结构法是计算对称结构常采用的一种简化分析方法. 结构力学教材[1]通常如下定义对称结构：①结构的几何形式和支承情况对某轴对称；②杆件截面和材料性质也对此轴对称，该轴线称为对称轴，上述结构亦称为轴对称结构.实际工程中除轴对称结构外，还有一类常见几何对称结构——中心对称结构.中心对称结构有一中心对称点(对称中心).中心对称结构的一半绕对称中心旋转180°，将与结构的另一半完全重合.本文将探讨半结构法在中心对称结构计算中的应用问题，包括中心对称、反对称载荷作用下结构的对称性及其证明以及等代结构形式及其应用等.

1 中心对称结构半结构法

1.1 结构的对称性

作用在中心对称结构上的对称载荷有中心对称载荷与反对称载荷两种,将中心对称结构分成中心对称的两部分,绕对称中心旋转 180°后,如果两部分的载荷彼此重合，则该载荷称为中心对称载荷(下称对称载荷)；如果两部分的载荷方向相反，则该载荷为中心反对称载荷(下称反对称载荷)，见图1.中心对称结构对称中心截面上的内力可分为中心对称内力与反对称内力两类,其中轴力、剪力为中心对称内力，弯矩为反对称内力[2].

图1 中心对称结构与对称载荷

性质：在对称载荷作用下，中心对称结构的内力和变形是中心对称的；在反对称载荷作用下，结构的内力和变形是反对称的.

图2 对称性的证明

证明[3]：在对称载荷作用下，设结构两对称截面上的弯矩分别为M1,M2，如图2(a)所示.将结构绕对称中心旋转180°后得图2(b).对于中心对称结构，显然这两个结构计算简图是完全相同的.按叠加原理，将受力状态(a)减掉受力状态(b)，则结构上没有载荷作用，因此结构的内力和位移应等于零，结构两对称截面上M1-M2=0,得M1=M2.这表明：在对称载荷作用下，中心对称结构的弯矩是中心对称的.将上述证明中的弯矩换成轴力、剪力或位移，证明显然同样成立.按相同原理可证明，在反对称载荷作用下，结构的内力和变形是反对称的.

推论：在对称载荷作用下，中心对称结构对称中心截面上的反对称内力(弯矩)等于零；在反对称载荷作用下，结构对称中心截面上的对称内力(轴力、剪力)等于零.

1.2 半结构法

1.2.1 中心对称刚架

根据中心对称结构的对称性，在对称载荷作用下中心对称刚架的变形是中心对称的，即刚架对称中心只有转角而无线位移；在反对称载荷作用下刚架的变形是反对称的，即刚架对称中心只有线位移而无转角.在对称载荷作用下，刚架对称中心截面上的反对称内力(弯矩)等于零，只需要计算对称内力(轴力、剪力)，如图3(a)；在反对称载荷作用下，中心对称刚架对称中心截面上的对称内力(轴力、剪力)等于零，只需要计算反对称内力(弯矩)，如图3(c).因此中心对称刚架在对称、反对称载荷作用下，可以分别取半边结构进行计算,等代结构如图3(b)和图3(d).

图3 中心对称刚架与等代结构

1.2.2 中心对称桁架

在对称、反对称载荷作用下，中心对称桁架的内力和变形分别是中心对称和反对称的，故中心对称桁架在对称、反对称载荷作用下，也可以分别取半边结构进行计算.但与刚架不同的是，桁架截开结点处只有约束力而没有约束力矩，且结点一般均有线位移(对称载荷作用下对称中心处结点除外)，故取半边结构时应在桁架截开结点处设弹性支座 (对称载荷作用下对称中心结点处设刚性链杆)，且支座处约束力的方向、大小关系应依据对称性确定，如图4(b)和图4(d)所示.

图4 中心对称桁架与等代结构

2 应用

例 1：作图5(a)所示刚架的弯矩图，水平杆抗弯刚度为2EI，垂直杆抗弯刚度为EI.

将刚架上的载荷分解为中心对称与反对称两组载荷,如图6(a)和图6(d)所示.对称载荷作用下取等代结构如图 6(b),用力矩分配法计算得其弯矩图(图 6(c))；反对称载荷作用下的等代结构如图 6(e)所示，利用位移法载常数绘其弯矩图(图6(f)).利用对称性并用叠加方法绘出刚架最后弯矩图(图5(b)).

图5 算例1

图6 中心对称刚架计算

例 2：试求图7(a)所示桁架的各杆轴力[1].本算例为文献1中代替杆法计算复杂桁架例题，由于原结构与图7(b)所示中心对称桁架的受力和变形完全一致，故用该桁架代替原结构进行计算.

图7 算例2

将桁架上的载荷分解为对称载荷与反对称载荷两组,如图 8(a)和图8(c)所示,对称、反对称载荷作用下分别取等代结构(图8(b)和图8(d)).根据结构的整体及局部平衡条件可快速求出支座反力，不难求出桁架全部杆件轴力，此处从略.

图8 中心对称桁架计算

3 结语

在分析中心对称、反对称载荷作用下中心对称结构的对称性基础上，提出了中心对称结构的半结构法，该方法不仅适用于中心对刚架，也适用于中心对称桁架.通过结构简化及与其他计算方法的有机结合，中心对称结构半结构法可以显著降低复杂结构分析问题的难度，并大幅减少结构计算工作量、提高结构计算效率.该方法与其他方法联合应用的一题多解方法，体现了结构力学的思维性和趣味性特征，有利于学生拓展其创新思维及分析解决复杂力学问题的能力[4].

1龙驭球,包世华．结构力学．北京：高等教育出版社，1980

2于玲玲，杨正光,汪海峰等．结构力学．北京：中国电力出版社，2014

3蒋中祥．载荷作用下对称结构的内力和位移．力学与实践，2014，36(5)：633-635

4周臻,尹凌峰,缪志伟．静定刚架弯矩图的叠加法活用与对称性利用．力学与实践，2012，34(4)：73-75

(责任编辑:胡 漫)

O342

：A

10.6052/1000-0879-17-039

2017–02–10收到第1稿，2017–04–10收到修改稿.

1)湖南省普通高等学校教学改革研究资助项目(湘教通[2016]400号).

2)李明，讲师，主要从事结构抗震研究及结构力学教学工作.E-mail:hnistli@163.com

李明,钟豪.半结构法在中心对称结构计算中的应用.力学与实践,2017,39(4):400-403

Li Ming,Zhong Hao.Application of half-structure method in centrosymmetric structural calculation.Mechanics in Engineering,2017,39(4):400-403