在探索规律中发展学生的合情推理能力

闫颖

[摘 要]探索规律的过程就是发现数学的过程。在教学中，教师可以从探索数的规律（数的性质、数的运算规律）、探索图的规律（图形的特征、图形的测量）、“探索规律”专题学习三个方面入手，发展学生的合情推理能力。

[关键词]探索规律；合情推理；数的规律；图的规律；专题学习

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）23-0072-02

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，学习数学的过程是探索并认识数量关系及空间形式规律的过程。这一过程常常伴随推理活动，其中既有演绎推理，也有合情推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断出某些结果。合情推理是“数学发现”的必经之路，在“探索规律”的教学中，教师可以从三个方面发展学生的合情推理能力。

一、在探索数的规律中形成合情推理能力

数与代数的大量概念、性质、法则、公式和规律的学习，往往都是通过具体的实例展开，对这些内容的学习、理解和掌握，一般要经过从具体到抽象、特殊到一般的过程，这个过程正是合情推理的思维过程。

1.经历数的性质抽象概括的过程

在理解数的意义，掌握数的读写后，一般都要探索数的性质。数的性质可通过推理归纳得出。

例如，教学“小数的性质”时，教师引导学生先联系具体事实：“铅笔的单价是0.3元，橡皮的单价是0.30元，它们的价格相等吗？”“看图比较0.1米、0.10米和0.100米的线段，它们的长度一样吗？”通过有序观察小数的变化，学生初步感知：都是小数末尾添上0或去掉0，而小数的大小相等。再通过举例验证，进而得出“小数末尾添上0或者去掉0，小数大小不变”的规律，即小数的性质。

又如，教学“分数的基本性质”时，通过观察直观图，学生判断出，教师引发猜测：“像这样分子、分母变了，但分数的大小不变的现象是分数的个别现象（板书：个别现象）还是普遍规律（板书：普遍规律）？其他的分数有没有这种现象呢？如果有的话，请举例说明（板书：举例）。”在学生举例，教师先明确：“这还只是我们的猜测（板书：猜测），要知道这个猜测是否正确，我们还需要验证（板书：验证）。那么，怎样验证以下这些分数一定与相等？”为了方便学生的研究，教师选择了三个与相等的分数，请学生按照提示先算一算、填一填，再分组观察讨论，说说自己的发现。学生完成并在小组内交流后全班汇报，教师初步小结：“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。”进而引发学生质疑：“同时乘或除以的数既可以是整数，也可以是小数，是不是任何一个数都行呢？”学生思考后得出“0除外”。最后，师生共同完善规律。

归纳是从特殊到一般，从个别事物概括一般规律的思维方法，小学阶段主要采用的是不完全归纳法，即对若干个特例进行观察比较、抽象概括，进而得出相关的规律。

2.体验探索数的运算规律的过程

数的运算中存在着大量的运算规律，如计算法则、运算律、商不变规律和积的变化规律等，这些运算规律都是高度概括的运算知识，是在大量的计算现象中归纳出来的。这些内容的教学价值不仅在于让学生掌握运算规律，还要发展学生初步的推理能力。因此，教师要让学生体验“解决个别实际问题—看到数学现象形成猜测—大量举例丰富例证—观察比较抽象概括—符号表示规律”的探索规律的过程，发展学生的合情推理能力。

例如，教学“加法交换律和结合律”时，教师先出示课本的情境图，并提出问题：“仔细观察这幅图，算一算跳绳的学生有多少人，应该怎样列式计算？”有学生回答：“28+17=45（人）。”教师追问：”还可以怎么列式？”另一个学生说：“17+28=45（人）。”教师继续追问：“观察这两个算式，它们有什么异同点？”当学生得出“两个加数一样，但加数的位置不同，和相等”的结论后，教师指出：“这两个算式的得数是一样的，可以用‘=把它们连起来，改写成‘28+17=17+28的等式。你们能照样子说出一个这样的等式吗？”最后学生举例验证，进而抽象概括出加法交换律。教师采用归纳推理的方式展开教学，引导学生在观察、实验和归纳等学习活动中主动认识运算律。

又如，教学“乘法交换律和加法结合律”时，教师在课始先回顾加法交换律和结合律，引发学生类比猜想：“加法运算中有这样的规律，乘法运算中是不是也有类似的规律？你打算怎样研究？”教师采用类比推理的方式，引导学生类比加法运算律写出一些乘法算式，再计算比较结果是否相等，通过观察大量的例证进而抽象概括出乘法的交换律和结合律。

不管是归纳推理還是类比推理，都是让学生体验运算规律的探索过程，即由个别现象形成猜测，再举例丰富例证，通过观察大量例子抽象概括出运算规律。

二、在探索图的规律中形成合情推理能力

“图形与几何”的教学强调联系学生的现实生活，在已有生活经验和数学活动经验的基础上，通过观察、操作、比较、猜想、验证、分析和推理等活动，了解一些几何体和平面图形，探究它们的基本特征，掌握测量和画图的基本方法，并运用测量方法解决一些简单的实际问题。其中，探究图形特征和掌握图形测量方法是发展合情推理能力的重要途径。

1.经历发现图形特征的过程

研究某一种图形，一般从认识其特征开始。发现图形的特征，通常是在感性认识的基础上进行合理的猜想、分析和推理。这里的推理多是从特殊到一般的合情推理。

例如，教学“三角形内角和定理”时，教师先出示一副三角尺，让学生计算同一块三角尺上的3个内角的度数和，得出“每块三角尺上的3个内角的和都是180°”的结论后，引导学生猜想：“其他三角形的内角和是多少度？也会是180°吗？”由此确定探究的内容和目标。接着，组织学生通过实验验证：选择不同形状的三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）进行操作，一部分学生用“量”和“算”的方法，分别量出三角形的3个内角的度数后再相加；另一部分学生用“剪”和“拼”（或“折”和“拼”）的方法，即把三角形的3个内角剪下来（或折起来）再拼在一起，看拼成的是什么角。在学生小组交流和全班汇报后，发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，它们的3个内角的和都是180°。“三角形的内角和等于180°”是三角形关于“角”的重要特征，教师不能仅仅让学生知道这一特征，而应让学生自主探索发现。因此，在教学中设计“质疑—解疑—应用”的线索，突出“猜测—实验—验证”的推理过程，正是让学生体验了合情推理的“由特殊到一般”的思维过程。

2.经历图形测量的过程

对图形的研究具有定性的一面，也有定量的一面。量的研究离不开测量，测量是按照某种规律，用数据来描述观察到的现象，即对事物做出量化描述。测量一般包括确定所要测量物的属性、选择具有同一属性的测量单位和通过比较待测物体与测量单位进行测量。测量过程中蕴含的合情推理思想有助于提高学生分析和解决问题的能力。

例如，教学“圆的周长”时，教师应利用“猜想—验证—应用”的线索，让学生有意识地获得并掌握圆的周长的计算方法，同时体验合情推理的思想。求圆的周长的过程不同于求多边形的周长，教师具体可以分五步展开教学。第一步是对比感知，初步猜想。通过对比几个不同直径长度的圆，引导学生初步猜想——圆的周长与直径有关。第二步是深入对比，量化猜测。将圆与它的内接正六边形和外切正方形比较，把猜想进一步“量化”——圆的周长比它的直径的3倍长，比它的直径的4倍短。第三步是操作计算，发现规律。测量几个大小不同的圆的周长，计算各个圆的周长和直径的比值，发现所有的圆的周长总是它的直径的3倍多一些。第四步是分析数据，验证猜想。明确圆的周长和直径的比值都是一个固定的数，即圆周率，同时介绍圆周率的性质。第五步是推导公式。根据圆的周长是它直径的π倍推导出C=πd或者C=2πr。

三、在“探索规律”专题学习中形成合情推理能力

规律是客观存在的，是隐含且可以被发现的，只要对丰富的具体现象进行深入细致的研究，从感性认识到理性认识，就能发现规律。苏教版教材从三年级上册开始，每册都编排一次“探索规律”的专题学习。这部分内容有特定的编写形式，教学一般分四步展开：第一步是呈现现象、引发注意，激发学生探索规律的兴趣；第二步是组织观察、操作等数学活动，帮助学生探索并找到规律；第三步是学生踊跃表达、交流所发现的规律，提升数学思考；第四步是引导学生回顾探索过程，反思收获、积累经验。这一过程既符合学生的认知规律和思维发展脉络，又体现了由具体到抽象、特殊到一般的合情推理特征，是培养学生合情推理的重要素材。

例如，教学“一一间隔排列”时，教师首先出示有趣的现象，学生通过“看”“数”“比”“圈”等活动，由表及里逐步体验现象中的规律，再通过变换情境让学生体会到情境里的物体数量增加了，但排列规律没有改变，即两种物体之间依旧相差1，且两端物体的个数比中间物体多1。接着，组织摆学具的操作活动，学生通过动手操作继续探索间隔排列的规律，在直观感知的基础上，组织学生交流，采用不同形式（语言描述、画图、写式子等）来表征規律。最后，引导学生反思探究活动过程，探索规律需要科学的态度，既要大胆猜想，又要及时验证，让学生深刻体会到平时经常使用的数一数、比一比、画一画等方法都可以应用于探索规律。规律是数学化程度较高的思维活动，其重要思维方式就是合情推理，因此，在以上的教学过程中，学生不仅探究了数学规律，而且经历了从特殊到一般的合情推理过程，顺应了学生的思维，发展了合情推理能力。

小学阶段的学习需要合情推理能力，这对于学生掌握正确的学习方法、提高学习效率有很大的帮助。在教学中，教师要注重总结教学经验、探索更多有助于学生培养合情推理能力的方法，以提高课堂教学效率，更好的发挥学生的潜能。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“小学数学思维活动经验形成的案例研究”（编号：C-a/2016/02/01）和徐州市教育科学“十二五”规划课题“小学数学探索规律教学中合情推理的案例研究”（编号：GH12-15-L145）的阶段成果。]

（责编 李琪琦）