分析数形结合在初中数学解题中的应用思路

摘 要：数形结合思想在初中数学解题中应用广泛，本文首先对数形结合的概念进行了阐述，对数形结合思想在初中教学中的作用进行了分析。从以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数”“形”互三个方面具体说明了数形结合思想在初中数学中的应用途径及具体用法。在实践中逐渐摸索数形结合的方法，并积极的运用到解题中，从而提高教学质量和数学成绩。

关键词：数形结合；初中数学；应用思路

一、数形结合概念分析

数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。数形结合整合性强、解法灵活，使概念完整化、解决问题具体化，考察学生的创新能力和实践能力，联系函数、代数知识与几何等知识联系在一起，帮助学生理解各种公式，发展思维能力。

二、数形结合在解题中的作用

数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。数形结合整合性强、解法灵活，使概念完整化、解决问题具体化，考察学生的创新能力和实践能力，联系函数、代数知识与几何等知识联系在一起，帮助学生理解各种公式，发展思维能力。

三、数形结合在初中数学解体中的应用

（一）以“数”解“形”

针对通过形转化为数的模式来看，其通常是经过认真地分析以后，将已知的图形、图像当中隐藏的各种数量与相关性造出来，将几何图形的相关属性够通過数的方式反映出来。解决图形问题时，一部分图形较为复杂，有一部分问题需要定量。这种情况下首先要对图形进行分析，从已知条件进一步分析隐含条件，分析出题目条件和所求目标之间的几何关系，找到条件与目标的几何意义，对其特点和性质进行对比分析。将题目中的图形用代数式表示出来，利用概念、公式求出代数式的结果，再转化为图形中的条件。数形结合的方法使得直观的形与数量关系准确的结合在一起。

例：已知圆O内切于三角形ABC，其中AB=18，AC=22，BC=26。求：过三角形ABC的各个顶点的切线长。

分析：过三角形ABC三个顶点的切线分为为CE和CF，BD和BF，AD和AE，且CE=CF，BD=BF，AD=AE。可将三角形ABC的三条边均拆成某两条线段的和，然后化成方程组问题进行求解。

解：设圆O与三角形ABC三条边分别相切于点D、E、F，

设AD=a，BD=b，CF=c，

则有：a+b=18，b+c=2，6a+c=22

解得：a=7，b=11，c=15。

所以过三角形ABC的顶点A、B、C的切线分别为7、11、15。

（二）以“形”助“数”

数学具有高度的抽象性，数形结合的思想能够使问题具体化，可以把抽象的数据、公式直观形象的与图形结合在一起。针对通过数转化为形的模式来看，其通常将问题当中的各种假设，用与之对应的图形描绘出来，体现对应的数量关系，最终揭示数与形之间的本质。有些函数、代数问题的解决方法太过复杂，单纯用代数的方法很难找到解题思路。这时候可以利用数和形之间的对应关系，将数量问题转化为图形问题，在明确解题目标的情况下，根据已知条件和题中涉及的概念与公式，分析数量关系能否通过某种图形表达出来，构造出合适的图形，根据图形的几何意义，结合到数量关系，进一步对题目所求目标进行解决。比如，求5a×6a的值时，可绘制出一个长方形的图形，将6a作为一个长方形的长，5a作为长方形的宽，那么长方形的面积就可以用5a×6a表示，于是有5a×6a=30a。

例：商场搞活动促销，其中x（件）是产品的销量，y（元）是费用，其关系图如下，图表表示了两种购物方式所得的收益，求：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种销售方案是如何获得收益的？（3）如何选择销售方案较为合理？

解：

（1）y1=20x，y2=10x+300

（2）y1是没有基础消费，每10件产品得到收入200元，y2是有基础消费300元，每售出10件产品再额外收入100元。

（3）如果可以保证平均每月售出30件以上时，就选择y1的销售方案；否则，选择y2的销售方案。通过数形结合的方法可以让学生更好的接受，更加熟练的掌握单项式乘法、单项式与多项式的乘法以及多项式的运算法则，有效的提高学生分析问题和解决问题的能力。

（三）“数”“形”互变

针对数与形的互相转化模式来看，数与形具有相互对立统一的特点，观察图形形状后，研究式子之间的结构，进行对应的联想，找到数与形之间的联系，用公式、概念进行相应的转化，把空洞、抽象的内容转变成形象、直观的内容。数形互变的实质就是由数变形和以形变数的结合，同时具备由数变形时的直观和以形变数的严密，在较复杂的数学题目中，可能同时需要这两种方法的转化，需要认真分析题目中的已知条件和隐含条件，找到形和数的关系，根据具体条件，相互转化。

例：关于x的方程x2+2ax+3a=0的两根都在-1和3之间，求a的取值范围。

解：令f（x）=x2+2ax+3a，由二次函数的图象可知：

f（-a）≤0，f（3）>0，f（-1）>0

即：（-a）2+2a（-a）+3a≤0

（-1）2+2a（-1）+3a>0

32+2a·3+3a>0

解得：a≥3或-1

四、结语

数形结合思想在初中数学解题中应用广泛，是根据数和形之间对应的关系，将数量关系与直观的几何图形相互联系，是把数学问题化难为易、化繁为简的重要方法，使得解决问题更加便捷明了。在学习数学的过程中需要反复的练习与实践，才能更好的掌握数形结合的解题方法，为今后的数学学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]宋英海.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].山西师范大学学报（自然科学版），2015，S1：16-17.

[2]刘冰楠.数形结合方法在初中数学教学中应用研究[D].内蒙古师范大学，2012.

[3]武俊英.数形结合思想在初中数学教学中的实践研究[D].陕西师范大学，2014.

作者简介：

陈元军（1976.10.31—），男，汉族，广西钦州市灵山县人，广西灵山县旧州中学教师。