“类比推理”在高中数学教学中的实践应用浅析

张久鹏

[摘 要] 从某种意义上讲，类比推理法对于高中学生数学思维的拓展以及解题能力的提高均具有相当重要的意义，本文从高中数学教学中类比推理法的教学现状入手，结合其意义与实践应用阐明了高中类比推理法的有效应用策略.

[关键词] 类比推理法；状态；含义；有效应用；注意事项

在运用高中数学类比推理进行解题时，结构的相似性大多会在解题时展现其辅助作用，以这种结构相似为基础的类比教学在数学解题实践过程中其灵活性的确是显而易见的. 不过，高中数学体现出的抽象性和系统性大家有目共睹，因此，高中数学教师应该引领学生对教材中的知识点进行理解与再创造，将类比推理作为引领学生对数学学科抽象性和系统性建立深刻认知和理解的有效手段.

[?] “类比推理”在现今高中数学教学中呈现的状态

类比推理教学虽已为广大数学教师接纳并运用，但其在数学教学中产生的作用仍没有被深入挖掘，大致有如下表现：第一，大部分高中数学教师对于类比推理教学的意义及必要性认识不够，因此，在具体教学实践中教师运用得不多或者运用不够恰当；第二，因为类比推理教学的不够系统使得教师在应用时相对随机、任意；第三，应试教育使得教师在数学教学时更加侧重于解题，相对疏忽知识点的类比推理. 事实上，高中数学中的数列、几何等知识都需要类比推理来促使学生对抽象知识的认知与理解.

[?] “类比推理”在高中数学教学中所产生的积极意义

根据两个事物之间某些相似的属性进行分析、推理，继而得出另一些相似的属性，我们一般称之为类比推理.从本质上来说，其实类比推理就是找出小同事物之间的相似点或者相同点，并以此为基础分析、推理得出相似或者相同的其他观点，它对于新知识与新规律的发现和归纳具有积极的意义. 当然，类比推理必须在原有知识这一基础上并结合相关情境进行知识的迁移. 也就是说，类比推理从本质上讲包含了新旧知识之间的融会贯通与分类比较的含义，是寻找新旧知识之间相似与相同特性的过程.

高中数学是一门具备严格教学目标的严谨学科，传统的教学模式随着新课改的不断推进与深入已经不能适应现今教学的需求与学生的需求，诸如类比推理之类的新的教育理念应该在高中数学课堂的教学中大放异彩，这不仅能使学生的智力得到进一步的开发，还能使得学生分析、归纳等数学思考能力得到进一步的提升和发展.

[?] “类比推理”在高中数学教学中的实践应用案例分析

1. “类比推理”在函数与方程中的实践应用

对于高中学生来说，函数是需要学生具备较强抽象思维能力且难度较大的一部分内容，学生对于函数知识内涵的掌握往往都会觉得有难度，因此，教师应该恰当运用类比推理将高中函数知识科学地引导给学生以帮助学生深入全面地理解函数知识.

例1：已知两个圆：x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为__________.

解：根据对称性这一性质可以知道两圆的半径是相等的，而对称轴必须在圆心处于不同位置时才会产生，因此，推广的命题可以填为：设圆方程（x-a）2+（y-b）2=R2与（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），由①-②，得两圆的对称轴方程.

2. “类比推理”在等差与等比数列中的实践应用

等差数列与等比数列是高中阶段数列的两大模型，教师在这两个概念的教学中首先可以引导学生从等差数列的“差”与等比数列的“比”进行类比，然后再引导学生运用代数的运算将等比数列的相关性质与等差数列的不同之处进行研究类比得出.

通过类比可以发现，等差数列与等比数列之间的命题有其对应性规律可循：等差数列各公式中的加、减、乘、除与等比数列中乘、除、乘方、开方存在着有趣的一一对应的关系.

例2：有{an}这一等差数列，如果其中a10=0，那么a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19并且n∈N*）. 对以上性质进行类比推理，在等比数列{bn}中，如果有b9=1，那么会有怎样的等式存在呢？

解：等差数列{an}中，a10=0，所以a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=2a10=0，所以a1+a2+…+a19=19a10=0，即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1.

又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1，

所以a1+a2+…+an=-a1+a2+…+a19-n（n<19且n∈N*）.

同理，等比數列{bn}中，因为b9=1，

所以b1·b17=b2·b16=…=bn·b18-n=bn+1·b17-n=b=1，所以b1·b2·…·b17=b=1. 与等差数列进行类比可得b1·b2·…·bn=··…·=b1·b2·…·b17-n（n<17且n∈N*）.

3. “类比推理”在立体几何中的实践应用

高中的立体几何对学生的空间想象能力与思维能力均提出了极高的要求，因此，教师在立体几何内容的教学中可以引导学生对立体几何与学生已经掌握的平面几何的知识进行类比分析，使得学生能够尽快掌握并灵活应用新的立体几何的知识. 比如，将平面几何中的“点”“线”与立体几何中的“线”“面”进行类比，将“平面角”与“二面角”进行类比，使学生在诸如此类的类比教学中由二维顺利向三维过渡，使得学生学习立体几何的畏难情绪逐步消失，使得学生的空间想象能力与数学思维力得到培养和发展.

例3：勾股定理是平面几何这一知识体系中一个重要且常用的定理：如果△ABC的两条边AB，AC之间互相垂直，那么AB2+AC2=BC2. 由平面向空间进行拓展，通过勾股定理的类比推理，对三棱锥的侧面积与底面积之间的关系进行探究可得：若三棱锥A-BCD的ABC，ACD，ABD这三个侧面中每两个侧面都互相垂直，那么___________.

解：教师引导学生由“用直线截正方形”得直角三角形这一行为进行引申，继而将其与“用平面截正方体”建立类比关系这一行为完全是情理之中的，那么，勾股定理中边的平方在类比关系中与三棱锥的各个面的面积又存在哪些关系呢？

（a）2=a2，所以x2+y2+z2=α2成立，因此，是我们所求答案.

4. “类比推理”在平面向量和解析几何中的实践应用

具备数形结合特征的向量与解析几何在位置与数量关系上均有较多相似的地方，解析几何中的很多问题都可以从向量中得到启发并与之进行类比，从而使得几何问题由推理转化成了数量化的运算问题.

例4：有+=1这样一个椭圆，其焦点记作F1，F2，该椭圆上有一动点，记作P，试讨论∠F1PF2为钝角时点P横坐标的取值情况.

分析：教师首先可以引导学生从“∠F1PF2为钝角”来进行思考，∠F1PF2是零角、锐角、直角、钝角、平角的情况都有可能存在，此特征与向量夹角很相似，所以，教师继续引导学生将∠F1PF2类比为，两向量的夾角，而题中所给的已知条件“∠F1PF2为钝角”可以类比为，两向量夹角为钝角这一情况，最终使得点P横坐标取值范围转化成向量，的数量积为负值这一问题（向量反向平行除外）.

[?] 高中数学运用“类比推理”教学的注意事项

类比推理在高中数学的教学中虽然十分重要，但教师在运用类比推理进行教学充分发挥其积极作用的同时还是需要注意一些问题的：第一，教师始终应该注重以学生为起点并结合事物的相似性抓住类比推理的精髓组织教学；第二，为了更加准确地把握事物之间的共同之处，教师应该随时提升自身的知识储备以达到有效利用类比推理提升教学效率的目的；第三，始终落实以学生为主体的教学理念并巧妙运用类比推理引导学生进行难题的解决，使得学生产生积极的学习兴趣和导向并真正掌握类比推理运用的方法和技巧，不断地提升学习的热情和数学学习的能力.

从数学教学这个角度出发，类比推理在解题技巧的丰富以及学生数学思维的发展上均具备无比重要的意义，但是不管它在数学学习中的作用如何，教师都应该理性地面对类比推理在数学学习中的实践应用，理性面对其自身存在的局限性，理性面对类比推理适用的知识和层面，在不断实践中检验类比推理的实效性，引导学生解题中不生搬硬套，使学生学会灵活运用这一方法有针对性地解决问题，坚持具体问题具体分析的针对性原则，从而长期培养学生对数学学习的兴趣以及解题的技巧与方法.

[?] 结束语

类比推理在很大程度上是借助原有的知识体系与规律为未知难题的解决寻求突破口的，而且，从某种意义上来讲，类比推理在解题中取得的效果是一般方法无法比拟的，对于学生发散性思维的锻炼以及数学学习兴趣的培养作用巨大. 因此，教师始终应该贯彻学生为学习主体的教育理念并勇于开拓，将类比推理在数学教学中的作用充分发挥出来，使得学生形成规范、科学的类比推理的解题方法与技巧.