一题多变 拓展思维

金同双

在教学过程中运用“一题多变”的教学手段，能有效培养和拓展学生思维，有利于提高教学效果，对提高学生分析问题、解决问题的能力也有很好的作用.

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，或者将某项条件与结论交换等，而题目所考查的实质不变，变化的目的是从不同角度、不同方面揭示题目的本质.用这种方式进行教学，可以促使学生根据变化的情况积极思索，设法想出解决问题的办法，从变中总结解题方法，从变中发现规律，从变中发现“不变”，从而培养思维的灵活性.

“一题多变”的常用变换方法有：1.变换命题的条件与结论； 2.保留条件，深化结论；3.探讨命题的推广； 4.生根延枝，图形变换；5.接力赛，一变再变；等等.

现以人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的“相似三角形”课后第13题为例，列举从简到难的10个变式并适度剖析.

原题：已知，在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD：CD=CD：BD，求：∠ACB的大小.

题型变式：

1.图中和∠CAB相等的角有哪些？和∠CAB互余的角有哪些？

2.求证：AC·BC=AB·CD.

3.求证：S△ADC ： S△CDB =AD：DB.

4.求证：AC2 =AD·AB；BC2 =BD·AB.

5. （变换命题的条件与结论）（1）如果AC=2BC，那么5CD=2AB；（2）求证：■=■+■.

6.（其他条件不变，增加原题的条件）AE平分∠BAC交BC于点E，求证：CE：EB =CD：BC.

7.（在第6题中增加点F，结论改变）已知，在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD：CD=CD：BD，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD=AF·EF.

8.（在原题中增加2个条件，改换结论）已知，在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD ： CD=CD ： BD， DE⊥AC于 E，DF⊥BC于F ，求证：（1） CE ： BC=CF ： AC；（2） CD3 = CE·CF·AB.

9.（接力賽，一变再变，扩大知识的延伸）已知：在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD：CD=CD：BD，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC.

10.（生根延枝，图形变换）已知：在△ABC中，CD是边AB上的高，且AD：CD=CD：BD，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB=AE·BE.

本套变式题展示的主题和创编意图是：利用对应边成比例，用两个直角三角形相似性质证明结论.为了考查学生在开放条件下还能猜想到哪些可能出现的结论，我在这一组变式题的设计中充分考虑到了这些相关考点.另外，结合《课程标准》的要求：学生要了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理；了解三角形与各种几何图形之间的密切联系.我设计了几种变式来巩固“相似三角形”的相关知识.

第1题：在保持原题条件不变的基础上认识图形，相似图形与哪些角有重要关系.

第2、3、4题：保留原题条件，改变结论.从不同角度考查学生对相似三角形的判定定理、性质定理和比例性质的理解，对三角形面积公式之间的联系的掌握情况，以及证明结论的能力.

第5题：变换命题的条件与结论.

第6、7题：在原题基础上增加条件，如中点、角平分线及垂线等题设条件，利用角的等量代换和直角三角形两锐角互余的关系得出两三角形相似，考查了学生对三角形相似的判定的掌握情况，在不同的条件下采取不同的判定方法.此题考点较多，但难度适中，适合学生练习.

第8题：探讨命题的推广，在变式7的基础上增加两条垂线，图形看似复杂了，结论也改变了，但是，难度并没有增加.命题得到了进一步推广，但考点没变.

第9题：此变式主要体现相似三角形与圆的知识的连接.条件、结论一变再变，扩大了知识的延伸.通过同弧圆周角相等知识解决两三角形相似，考查范围扩大，考查了学生的知识综合应用能力以及变通能力.

第10题：生根延枝、图形变换，在改变原题条件的基础上再次变换结论，难度没有增加，考点不变.

教师在运用“一题多变”教学手段时要注意，无论题目怎样变化，考查范围必须遵从《课程标准》的要求，不得超越学生的认知水平，否则变式就是无意义的.一题多变的意义在于启迪思维，开阔视野，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性.有利于学生发散思维能力的培养和解题技巧的提高；有利于将知识、能力和思想方法在更多的新情景、更高的层次中反复渗透，从而实现螺旋式的再认识、再深化；有利于有效提高课堂教学质量和学生综合素质.

通过“一题多变”的教学实践和探究，我的课堂教学效率和教学质量都有所提高，教学专业水平也得到了提升，同时，学生的思维开阔了，课堂气氛活跃了，学生的学习兴趣提高了，对知识的理解和掌握加深了，成绩也普遍提高了.现在，我的学生已经养成了这样的习惯：每当听老师讲一道例题或自己做一道习题时，都要尝试改变条件和结论再试一试.这种学习习惯和学习方式无形之中调动了学生的学习积极性，激发了学生的创新意识，同时也起到了举一反三、事半功倍的效果.