用三角代换妙解几道征解题

华东师范大学数学系 蒋宝童 (邮编:200241)

安徽省和县第一中学(邮编:238200)

用三角代换妙解几道征解题

华东师范大学数学系 蒋宝童 (邮编:200241)

安徽省和县第一中学(邮编:238200)

1 问题的提出

《数学通讯》问题征解第278题:

2 解法再探究

下面我们将从另一个视角对问题进行分析并解答.

首先,根据式子特征,要使S最小,易知a、b应异号.现不妨将原题等价转化为:

已知a＞0,b＞0,求S＝a2＋b2＋的最小值.

解法1 设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,a＝cotA,b＝cotB,则－cot(A＋B)＝cotC.令f(x)＝cot2x,x∈,则f″(x)＝2csc2x(csc2x＋2cot2x)＞