史密斯圆图的原理分析及应用

戢予 徐庆思 陈园园 蒋媚秋 何锦龙 重庆邮电大学光电工程学院重庆国际半导体学院

史密斯圆图的原理分析及应用

戢予 徐庆思 陈园园 蒋媚秋 何锦龙 重庆邮电大学光电工程学院重庆国际半导体学院

本文以传输线理论为基础，由电压反射系数的推导分析出反射系数相位与位置d呈负相关，由此画出单位圆的反射系数图。通过用阻抗平面及反射系数平面之间的保角变换，推导出归一化阻抗。然后用复数平面直角坐标系得出电阻圆，电抗圆的公式。之后通过电阻圆和电抗圆在反射系数平面画出完整的史密斯圆图，最终完成了史密斯圆图的推导。最后阐述了史密斯圆图在阻抗匹配方面关于集总参数元件L节匹配、λ/4阻抗变换器、支节匹配器的应用。

传输线理论 反射系数 史密斯圆图 阻抗匹配

1 概述

2 理论分析

2.1 传输线理论

（1）在l/λ>0.05时，传输线上的电压和电流是入射波及反射波的叠加，不能直接测得电压电流，但我们可以画出传输线的集总参数等效电路后，通过基尔霍夫定律得到传输线方程：

再由此可以得到电压、电流：

（2）传输线上任意一点的阻抗值都是该点处的电压与电流之比，假设在无耗传输线上传输，综合上面两个式子即可得到输入阻抗：

由该式子我们可以得出结论：传输线具有阻抗变换的作用，且在每隔λ/2时阻抗不变，在每隔λ/4时，变换为性质完全相反的阻抗值。

（3）电压反射系数是反射波电压与入射波电压的比值，在无耗情况下即为：

ΓL是负载端的反射系数，ΦL是终端反射系数的本身的相位，反射系数相位随位置d的变化而变化，且因相位大小与d的大小呈负相关，所以顺时针是向信号源方向，如图1所示。这一点很重要，是使用史密斯圆图的基础。

图1 单位圆内表示的反射系数

图2 史密斯圆图

2.2 史密斯圆图

（1）由上述推导可知传输线方程的解的过程过于复杂，为了简化传输线理论的计算，我们选择史密斯圆图这种图解法将微分方程的求解简化。首先，在阻抗平面及反射系数平面之间进行保角变换，则归一化阻抗可以表示为：

再把该式子用复平面直角坐标Γ=Γr+jΓi和z=r+jx表示出来后整理可得到：

由此，我们可根据电阻圆和电抗圆在反射系数平面内画出完整的史密斯圆图（此处只考虑史密斯圆图的阻抗圆图），如图2。

（2）由2.2中公式可以推导出史密斯圆图的基本性质：

①史密斯圆图的实轴表示纯电阻，处在最外面的大圆表示纯电抗；

②处于圆图上半部分的位置意味着元件呈感性，处于下半圆的位置呈容性；

③史密斯圆图的圆心表示与特性阻抗值相等的纯电阻；

④当需要计算一段传输线在某个位置的等效阻抗时，需要围绕史密斯圆图的圆心沿等反射系数圆，根据向电源还是向负载决定是顺时针还是逆时针旋转，直到达到我们需要的位置，那该点的阻抗即为等效阻抗；

⑤假设电路负载接纯电阻，当负载值大于特性阻抗时，在史密斯圆图上则位于圆心的右半实轴上，反之亦然；

⑥史密斯圆图的开路点为最右端的点，短路点是最左端的点；

⑦一个已知的阻抗值在史密斯圆图上表现为等电阻圆和等电抗圆的交点；

⑧史密斯圆图的重复周期为λ/2；

⑨已知阻抗，导纳则是阻抗关于圆心中心对称的点（即围绕圆心旋转180度）。

3 主要应用——阻抗匹配

阻抗匹配是一种让电路系统无反射传输，达到传输功率最大的一种手段，即Zin=Z0*，结合史密斯圆图的主要实现方法有：

（1）集总参数元件L节匹配：若串联电感或电容，则沿着等电抗圆旋转；若并联电感或电容，则沿等电纳圆旋转；若串联电阻，则沿等电阻圆旋转；若并联电阻，则沿着等电导圆旋转。

（2）λ/4阻抗变换器：该变换器的阻抗变换特性可表示为Zin=Z02/ZL，也就意味着在史密斯圆图上是沿着等反射系数圆旋转半圈，得到一个性质与原来完全相反的阻抗值。

（3）支节匹配器：在传输线上合适的位置串联或者并联一段终端短路或者开路的传输线段以实现匹配。在史密斯圆图上的实现步骤是，首先把负载等效到R=1的等电阻圆上或者G=1的等电导圆上，在这样一个合适的位置上，再通过接上那一段终端短路或开路的支节传输线段消除虚部，完成共轭匹配。

4 总结

史密斯圆图是一种常用的简化传输线理论的图解法。本文对它的原理进行了简单分析及推导，总结出了它的九点基本特性，简要介绍了史密斯圆图在射频微波电路中最主要的应用——阻抗匹配，以及如何使用史密斯圆图进行阻抗匹配。

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