打破惯性思维 把握问题本质

江苏省仪征市月塘中学 钱元科

打破惯性思维 把握问题本质

江苏省仪征市月塘中学 钱元科

一位学生拿着考卷来问我一道题目错在哪里了：

如图所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W。

学生的解答是这样的：

解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AB。

∴四边形ACDE是矩形，∴AC=DE=1。

在Rt△ABE中，

答：铺设水管的最省费用约为69150元。

这是期中考试卷中的一道题，源于古希腊著名的“将军饮马问题”，是利用轴对称找出最近距离的实际应用。试题的参考答案是这样的：

解：作点A关于河CD的对称点A′，连接A′B交CD于O点，则点O就是水厂的位置，此时水管道最短，最短长度=AO+BO=A′O+BO=A′B；

过点A′作A′E⊥BD延长线于点E，∵AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，∴A′E=CD=3千米，BE=1+3=4(千米)，由勾股定理得，A′B=（千米）,∴W=15000×5=75000（元）。

答：铺设水管的最省总费用75000元。

试卷刚刚评讲不久，问问题的学生数学成绩也还算不错，难道不少学生对这一类问题还不理解？心里一边思忖着，一边对比着两个不同的解答……咦，学生答案中的总费用怎么比标准答案中的还少呢？

经过耐心地询问与交流，原来学生对题意的理解与参考答案的理解有不同。参考答案的理解是：水厂应建在到A、B两村距离之和最短的地方，问题即转化为“将军饮马问题”这一基本数学模型，通过轴对称构建出三点共线，再利用“两点之间线段最短”得出从A到O再到B的距离是最近的，故只要按此路线铺设管道所需费用就是最省的了。而学生则认为：题中“要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水”，可以将水厂建在C处，水管铺设可以经过A村再到达B村，这样的路线比之答案中的路线还要近些（是CA+AB=1+≈1+3.61≈4.61＜AO+BO= A′B=5），也是符合题意的，为什么还要选答案中的路线呢？

是啊，如果真的还有更近的路线，为什么不选择呢？我又认真地查验了学生的解题过程及计算结果，一切无误。问题出在哪了呢？经过认真比较、分析与思考，原来适用“将军饮马问题”这一数学模型的要求是“从定直线中找一点到两个定点的距离之和最小”，如果要运用此模型来解答，水厂应分别向两村铺设管道送水。而此题的要求是“要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水”，按题意的理解，水厂并不一定要分别向两村送水，可以经过A村再到达B村，也可以经过B村再到达A村，都是符合题意的。如是这样，应该是我们的思维定式导致出现错误了。

为了验证我的观点是否正确，我又请教了网络。发现此类与实际结合的问题网上也有很多，而题中几乎都没有“分别”的字样，但是人教版八年级数学上册P42中有一道探究题说的却很是清楚：“如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（图略）”这里很明确地说明了泵站要“分别”向两镇供气，毫无疑义，问题应转化为“将军饮马问题”来解决，然而上述那些更多的此类问题中并无“分别”字样，其解法几乎都是化归为“将军饮马问题”这一基本数学模型来解的，都没有比较两种路线的长短再择其短而选之。仅仅两个字的差异，我们都让表面的现象迷惑了问题的本质。导致错误的原因究竟在哪儿呢？笔者以为：都是惯性思维惹的祸。

惯性思维也称思维定式，是由先前的活动而造成的一种对活动的心理准备状态或活动的倾向性。先前形成的知识、经验或习惯，都会使人们形成认知的固定倾向，从而影响后来的分析与判断，形成“惯性思维”。在不变的条件下，惯性思维能使人应用已掌握的方法迅速地解决问题，而在情境发生变化时，深入到潜意识中的惯性思维也会反过来支配自己的言行，使我们忽视对问题本质的把握，摆脱不了已有“框框”的束缚，表现出消极的思维定式。

本质往往会被一些表面现象掩盖着，使你容易混淆、识别不清，如果我们不深入挖掘，常常会误入“歧途”，离问题的本质越走越远。思维最大的敌人，是习惯性思维，生活环境和知识背景都会影响到人们的思维方式，不过最重要的影响因素是过去的经验。所以，在解决数学问题时，我们不能墨守成规，一定要回到问题的原点，仔细阅读每一个字句，准确把握题目的意思，打破惯性思维，要积极进行思维发散，抓住问题本质，千万不要让表面的现象蒙蔽了我们的双眼、影响正确的判断。