聚焦斜面模型 提炼二级结论

湖北 李 斌

聚焦斜面模型 提炼二级结论

湖北 李 斌

斜面是一个经典的物理模型，它对物理知识的传承与思维的训练有着不可替代的作用。借助斜面模型，能较好地考查摩擦力、平衡条件、牛顿运动定律、匀变速直线运动、平抛运动、动量、功能关系等力学主干知识，它也能渗透到电磁学中。由于物体在斜面上的运动往往具有往返性，涉及多过程，因此借助斜面模型更能考查学生综合分析问题的能力，斜面模型一直备受高考物理命题专家的青睐。本文提炼总结与斜面相关的二级结论，帮助考生快速有效地解决与斜面相关的问题。

设斜面倾角为θ，若斜面粗糙，物体与斜面动摩擦因数为μ。则有以下结论：

1．物块能沿斜面自由匀速下滑，则μ＝tanθ。

2．物体沿斜面自由滑动时的加速度a时，则有：

（1）若斜面光滑：a＝gsinθ，方向沿斜面向下。

（2）沿斜面粗糙：

上滑时，a＝g（sinθ＋μcosθ），方向沿斜面向下；

下滑时，a＝g（sinθ－μcosθ），方向沿斜面向下。

3．斜面体上有一物块（如图1所示）。斜面体静止在水平地面上，关于斜面体受到水平地面的静摩擦力为Ff的情况：

图1

（1）若物块静止或沿斜面匀速下滑时，Ff＝0；对物块加竖直平面内的任意外力F，若物块还能沿斜面下滑，则Ff＝0。

（2）若物块沿斜面加速下滑时，Ff的方向水平向左；对物块加竖直平面内的任意外力F，若物块还能沿斜面下滑，则Ff的方向水平向左。

（3）物块沿斜面减速下滑时，Ff的方向水平向右；对物块加竖直平面内的任意外力F，若物块还能沿斜面下滑，则Ff的方向水平向右。

4．悬挂小球的小车以沿斜面向下的加速度a运动时，悬绳与竖直方向夹角为β（如图2所示）。

图2

（1）当a＝gsinθ时，β＝θ；

（2）当a＞gsinθ时，β＞θ；

（3）当a＜gsinθ时，β＜θ。

5．两物体紧挨着放在光滑斜面上（如图3所示）。当斜面以加速度a＝gtanθ水平向左匀加速运动时，物体能在斜面上保持相对静止，且物块间无相互作用。

图3

6．在斜面上以初速度v0平抛一小球落在斜面上（如图4所示）。

图4

（2）小球落到斜面上时速度的方向与水平方向的夹角α恒定，且tanα＝2tanθ，与初速度无关；

7．物体从静止开始沿底边长度一定的光滑斜面从顶端滑到底端，当θ＝45°时，下滑所用时间最短。

8．质量为m的物块沿斜面顶端自由下滑到底端过程中摩擦力做功Wf＝－μmgx（x为斜面底边长度）。

9．如图5所示，各接触面均光滑，质量为m的物块从质量为M的斜面体顶端静止开始下滑到底端过程中，斜面体后退的距离（x为斜面底边长度）。

图5

【例1】（原创）如图6所示，从某游乐场水平地面上O点正上方的A点向水平地面搭建很多个坡度不同的直滑道AB1、AB2、AB3、… ，多名游乐者乘相同的滑橇从A点由静止开始分别沿这些滑道下滑，他们到达水平地面时均背向O点在地面上继续向前滑行直到停止。滑橇与滑道、地面间的动摩擦因数处处相同，且滑道与地面的连接处是圆滑的，对所有游乐者有 （ ）

图6

A．滑到地面后离O点距离相同时速率相同

B．在地面停止时与O点的距离相同

C．滑行过程中通过的路程相同

D．滑行过程中机械能的变化相同

【解析】如图6所示，设AO＝h，某游乐者及滑橇的质量为m，滑橇与滑道、地面间的动摩擦因数为μ，当他沿某一滑道下滑到地面离O点距离为x时，其速率为v，由动能定理有设此游乐者在地面停止时与O点相距L，则有mgh－μmgL＝0，得L＝h/μ，故所有游乐者停止滑行时与O点的距离相同；沿不同的倾角，滑道滑行的游乐者在滑行过程中通过的路程不同；整个过程中游乐者机械能的变化为ΔE＝mgh，由于不同的游乐者的质量可能不同，因此在滑行过程中所有游乐者的机械能的变化不一定相同。

【答案】AB

【点评】物体在斜面上运动的功能问题，既可以单过程分析，也可以多过程整体分析；既可用动能定理，也可以用能量守恒定律。分析的关键是求滑动摩擦力做的功。在以上的求解中充分利用了斜面上物体滑动摩擦力做功的二级结论（结论8），求解过程简捷。

【例2】（改编）如图7所示，一固定杆与水平方向夹角为θ角，将一质量为m1的滑块套在杆上，通过轻绳悬挂一个质量为m2的小球，滑块与杆间的动摩擦因数为μ。若滑块与小球保持相对静止以相同的加速度a一起沿杆运动，此时绳子与竖直方向的夹角为β，且θ＜β。则滑块的运动情况是（ ）

图7

A．沿杆加速下滑 B．沿杆加速上滑

C．沿杆减速下滑 D．沿杆减速上滑

【解析】由于θ＜β，对小球有a＞gsinθ，方向沿杆向下。如图8所示，设线上张力大小为FT，设滑块受杆的摩擦力为Ff沿杆向下，对滑块由牛顿第二定律有m1gsinθ＋Ff－FTsin（β－θ）＝m1a，可见Ff＞0，即滑块受杆的动摩擦力方向沿杆向下，故它们的运动方向沿杆向上。

图8

【答案】D

【点评】求解斜面上的动力学问题的思维模板：选取研究对象→受力分析（注意摩擦力的分析）与运动过程分析→运用牛顿运动定律及正交分解法求加速度→运用运动学公式列式求解，同时要注意隔离法与整体法的灵活运用。本题如果将滑块视为小车，利用以上的二级结论（结论4的第2条），在θ＜β时整体的加速度a＞gsinθ，且a方向沿斜面向下；再对滑块用牛顿第二定律分析，易知其受斜面的摩擦力方向沿斜面向下，从而判断其运动方向沿杆向上。

（作者单位：湖北省武汉市华中科技大学附属中学）