激励频率影响下的裂纹转子非线性分析

刘桂珍,于 影,殷宝麟 ,丁海娟,赵炯介,闻邦椿

(1.佳木斯大学 机械工程学院,黑龙江 佳木斯 154007; 2.东北大学 机械工程与自动化学院,沈阳 110819)



激励频率影响下的裂纹转子非线性分析

刘桂珍1,于 影1,殷宝麟1,丁海娟1,赵炯介1,闻邦椿2

(1.佳木斯大学 机械工程学院,黑龙江 佳木斯 154007; 2.东北大学 机械工程与自动化学院,沈阳 110819)

利用拉格朗日方程建立了非稳态油膜力作用下的转子-定子-轴承系统裂纹故障的力学模型,应用数值分析方法研究了该系统随激励频率变化时的时域波形、轴心轨迹和Poincare截面,揭示了系统分岔特性和进入混沌的途径.研究结果表明,当激励频率作为唯一控制参数时,系统呈现出复杂的非线性动力学行为.该结果为大型旋转机械的故障诊断提供了理论依据.

裂纹; 时域波形; 轴心轨迹; Poincare截面

大型旋转机械在高速旋转过程中,由于长期受到交变载荷作用,转轴易出现横向疲劳裂纹,导致断轴事故时有发生,横向裂纹是大型旋转机械常见故障之一.横向裂纹对转子系统的安全运行产生巨大威胁,裂纹使转轴刚度减小并发生周期性变化,导致转子运行不稳定.数十年来,国内外学者在裂纹转子故障诊断方面作了很多工作,其中裂纹转子的运动特性和裂纹征兆已成为各种裂纹转子诊断技术的基础,被广泛应用于工程实际中[1-3].为了识别早期裂纹的位置和大小,裂纹转子的振动特性研究引起了广泛的关注,众多研究者提出了各不相同的裂纹模型,但至今也没有一个公认的力学模型.

笔者以裂纹故障为研究对象,利用拉格朗日方程建立了非稳态油膜力作用下的转子系统裂纹故障的4质量8自由度非线性动力学模型,应用数值分析研究,将激励频率作为唯一控制参数时系统的动态响应.通过转子时域波形图、轴心轨迹和Poincare截面图等振动信号提供的故障信息,对该系统响应的非线性行为和故障机理进行分析,从而为该类转子系统的故障诊断和系统的安全运行提供理论依据.

1 力学模型与微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

设有n个质点组成的质点系,受完整的理想约束,具有N个自由度,其位置可由N个广义坐标方程来确定,则有

(1)

式中:L为拉格朗日函数,L=T-V,T为系统的动能函数,V为系统的势能函数;R为与系统阻尼相对应的耗散函数;Qi为作用在系统上的广义力;qi为系统独立的广义坐标;N为系统的总自由度个数.

1.2 刚度影响系数的计算

设转轴半径为R、长度为L1的无质量弹性圆轴,在转轴中央有一深度为a的弓形横向裂纹,如图1所示.

图1 裂纹截面示意图

如果只考虑裂纹处弯矩的作用,根据断裂力学理论,由于裂纹的存在将在裂纹局部产生附加角位移.设在η,ξ方向弯矩作用下的无量纲局部柔度系数分别为[4]

(2)

对式(2)进行数值积分,得到无量纲的局部柔度系数与无量纲裂纹深度的关系曲线,如图2所示.ε,δ为仅与裂纹深度a有关的相关刚度参数,其表达式如下:

(4)

式中:L1为两端支承间轴的长度;R为轴颈;ν为泊松比.

图2 柔度与无量纲裂纹深度关系

1.3 非稳态油膜力模型[5]

非线性油膜力模型采用短轴承假设下的Ca-pone非线性油膜力模型,该模型有较好的精度和收敛性.在短轴承油膜力假设条件下的无量纲雷诺方程为

由式(5)可得无量纲油膜压力为

(6)

式中:D为轴承直径.

(7)

1.4 运动微分方程

转子-定子-轴承系统中间轴上具有一横向裂纹的力学模型,如图3所示,两端由滑动轴承支撑,滑动轴承直径为D,长度为L.两轴承之间为一无质量弹性轴,其半径为R,长度为L1,转轴中央有一对称布置的圆盘,深度为a的弓形横向裂纹.O1为转子的几何中心;Oc为转子质心;mi(i=1,2,3,4)分别为转子、轴承、定子和转轴在轴承处的半集中质量(kg);ki(i=1,2,3)分别为转轴、轴承支撑处和定子基础的刚度系数(N·m-1);ci(i=1,2,3)分别为转轴、轴承支撑处和基础对定子的阻尼系数(N·sm-1).

图3 非稳态油膜力的转子-轴承系统裂纹故障的力学模型

设转盘在水平方向、垂直方向移动的位移为x1,y1,左端轴承在水平方向、垂直方向移动的位移为x2,y2,定子在水平方向、垂直方向移动的位移为x3,y3,右端轴承座处水平方向、垂直方向移动的位移为x4,y4.

采用耗散能量形式的拉格朗日方程推导出对应裂纹故障的转子-定子-轴承系统的质点运动微分方程:

(y1-y4)sin2τ]=m1eω2cosωt

(y1-y4)sin2τ]=m1eω2sinωt-m1g

k3y3+m3g=0

(y4-y1)sin2τ]=

(8)

式中:xi,yi(i=1,2,3,4)分别为应各质量的位移坐标;b为轴颈的偏心量(mm);Fx,Fy分别为水平、铅垂方向的油膜力(N).

为研究问题的方便性,将上述方程无量纲化.设:

则上述方程转化为

ρcosωt

(y1-y4)sin2τ]+ρsinωt-G

η3y3-G

(9)

2 数值模拟

运用四阶Runge-Kutta法对数值进行求解.在计算中为了能够较快地得到稳定解,应将步长选得尽量小且周期足够多.为了消除瞬态响应的影响,舍弃前40个周期,计算轨迹图时取后10～20个周期.选取系统参数如下:m1=4.0kg,m2=32.1kg,m3=50.0kg,m4=20.0kg,c1=1.05kN·sm-1,c2=2.1kN·sm-1,c3=2.1kN·sm-1,k1=250kN·m-1,k2=250kN·m-1,k3=25 000kN·m-1,kr=1 000kN·m-1,R=0.025m,L=0.570m,δ2=0.2mm;η=0.018MPa,R1=0.015m,f=0.2.通过计算得出转子系统的3级固有频率分别为f1=13.974 7Hz,f2=43.586 4Hz,f3=113.109 6Hz.利用激励频率作为控制参数,分别考察转子系统在临界转速以下、临界转速附近以及临界转速以上3种情况下,裂纹转子系统非线性动力学响应.如图4～11分别表示对应转子系统三阶临界转速时的转子系统动态响应.

图4 转动角速度ω=80 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图4～6表示转子系统位于一阶临界转速附近的3组裂纹故障转子系统的响应.观察此时 Poincare截面图、相图、时间历程、幅值谱图等,表明一个稳态周期响应随系统参数变化的过程.在很短的参数区间内,系统稳态响应快速地完成了从拟周期运动→周期运动→倍周期运动的整个过程.从对应的Poincare截面图可以看到从周期吸引子(有限个不动点)→孤点→P2周期点的演化过程;从对应的幅值谱图可以看到,系统响应的次谐波响应能不断分岔产生新的谐波分量,这些谐波分量持续分岔又产生了大量的低频频率成分,因而使定子的时域波形图表现出比转子时域波形图变化剧烈.

图5 ω=90 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图6 ω=120 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图7 ω=250 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图8 ω=273 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图7～9表示位于转子系统二阶临界转速附近的3组裂纹故障转子的响应.Poincare截面图、相图、时域图和幅值谱图等多种图示,表明系统在很短的参数区间内,快速地完成了从周期运动→混沌运动→倍周期运动的整个过程.从对应的Poincare截面图可以看到从一个吸引子→拟周期→二周期点的快速演化过程;从对应的幅值谱图可以看到,系统响应的次谐波响应能不断分岔产生新的谐波分量,这些谐波分量持续分岔又产生了大量的低频频率成分,因而使定子上的时间历程呈现出剧烈变化的特性.

图10～11是转子系统位于三阶临界转速附近时裂纹故障转子的响应.按50 rad/s间隔取点过程发现,当ω位于(500,700) rad/s和ω位于(750,1 000) rad/s区间时,系统呈发散状态,因而将450 rad/s作为三阶临界转速的临界值进行讨论.

图9 ω=300 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

图10 转动角速度ω=450 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

当ω=450 rad/s时,Poincare截面图、相图、时间历程组和幅值谱图等多种图示,表明系统处于拟周期运动,随后系统在(500,700)rad/s区间内呈现发散状态,当ω=710 rad/s时,系统快速恢复周期运动,在ω在(750,1 000)rad/s区间时,系统重新呈现发散状态.

3 结论

通过对带有裂纹故障的转子-定子-轴承系统在不同转速比下的运动特性的研究,得出以下结论:

图11 转动角速度ω=710 rad/s时的转、定子时域图、相图、Poincare截面和频谱图

(1) 当转子出现裂纹时,在临界转速为kωc/n(k=1,2,…,;n=1,2,…,h)附近振动增大,定子在系统响应中出现高次谐波分量,且当转轴转速为临界转速的倍数时,(n/k)×分量达到最大值,即存在分数次频共振现象.

(2) 反映在转子、定子的时域波形上看,低速时(ω≤300 rad/s)时定子振动幅频值变化更为剧烈;高速时(ω≥450 rad/s),转子、定子时域图形出现同步振动.

(3) 因定子的幅频特性曲线具有丰富的分数次频和倍频成分,因而定子的相图比转子的相图更能体现出组合频率的特征.

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LIU Guizhen,YU Ying,LI Xianzhi,et al.The nonlinear analysis of unsteady oil film force in rotor system[J].Machine Tool & Hydraulics,2013,41(11):31-34.

Nonlinear analysis oncrack rotor via excitation frequency

LIU Guizhen1,YU Ying1,YIN Baolin1,DING Haijuan1,ZHAO Jiongjie1,WEN Bangchun2

(1.College of Mechanical Engineering,Jiamusi University,Jiamusi 154007,Heilongjiang,China;2.School of Mechanical Engineering & Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China)

Established the unsteady oil-film force with crack fault of rotor-stator-bearing system mechanical models by using Lagrange equation.The numerical analysis method is used to study system with excitation frequency of the time-domain waveform and orbit trace and Poincare section,revealing the system into chaos and bifurcation characteristic ways.The results show that when the excitation frequency as the only control parameters,system showing a complex nonlinear dynamics behavior,the results for the follow-up study of large rotating machinery fault diagnosis provides a theoretical basis.

crack; time-domain waveform; axis orbit; Poincare section

黑龙江省自然科学基金资助项目(E2016066);佳木斯大学精密制造技术研究团队资助项目(cxtdpy-2016-04)

刘桂珍(1965—),女，副教授,博士.E-mail:jmslgz@163.com

TH 133

A

1672-5581(2017)02-0170-08