运用数形结合，把握核心知识

刘平

摘 要：数学问题中的数量关系和空间形式结合起来处理问题的思想，就是数形结合思想。以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，这正是数形结合的体现。在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。

关键词：数形结合；核心知识；数轴

数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。把数学问题中的数量关系和空间形式结合起来处理问题的思想，就是数形结合思想。在解决数学问题的过程中，不可能把“数”和“形”完全孤立地割开，我们常常抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，这正是数形结合的体现。数形结合包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面，最终做到数形结合，相辅相成。

一、借助几何图形性质解决有关数的问题——以形助数

借助数轴，可以通过相应的数轴上的点与原点的位置关系刻画相反数和绝对值的意义。与原点距离相同的两个点所表示的两个数互为相反数；任意一个数与原点的距离就是它的绝对值。实数的绝对值的几何意义是数轴上表示实数的点到原点的距离。借助具体数轴学习抽象的数学概念，符合初中学生的认知特点，学生容易理解和掌握。

问题1：指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数？

问题1是数轴上已知点所表示的有理数，是由“形”到“数”的思维过程。

问题2：画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：

32，-5，0，5，-4，32

问题2是给定的数用数轴上的点来表示，是由“数”到“形”的思维过程。它们从两个侧面体现出数形结合思想。

有理数和无理数统称为实数，其中的有理数学生容易理解掌握，对于无理数学生感到抽象、模糊，为了让学生很好地理解掌握它，可通过数轴直观表示无理数。例如，学生通过研究初步认识了无理数■，也知道1.414<■<1.42，但是如何把表示这个无理数■的点精确地在数轴上表示出来呢？这时我们借助边长为1的正方形，它的对角线长正是■，我们就可以在数轴上表示■的点。由此使学生体会实数和数轴上的点一一对应，任何一个实数都能在数轴上找到相应的点，数轴上任何一点都可以用一个实数表示，并能进行实数大小的比较和运算。

“以形助数”可以通过图形使所研究的问题中的数量关系一目了然，比较直观。

二、借助数量关系解决有关几何问题——以数辅形

数形结合就是在研究数学问题时，由数思形，以形思数。运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数与几何的联系有着重要的意义。“标图”就是在解几何题时把条件中所给的数量关系标在几何图中，是使数量关系与图形紧密结合分析问题的有效方法。

平面直角坐标系是初中数学的一个重要内容，它建立了有序数对（x，y）与平面上的点一一对应的关系，实现了通过图形上的点的坐标研究图形的性质。在平面直角坐标系中，如何用坐标表示平移、轴对称、旋转及位似变换，体现了从数的角度刻画平移、轴对称、旋转及位似变换。学习用坐标表示平移、轴对称、旋转及位似变换时，关键是要引导学生正确理解图形变换后点的坐标的变化，以及点的坐标的变化引起图形的变换，特别是感受图形变换之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密结合在一起，把坐标思想和图形变换思想联系起来，这样可以深化对知识的理解。例如，把一条线段放到平面直角坐标系中，我们就可以通过线段端点的坐标，计算出这条线段的长度。把一个三角形放在平面直角坐标系中，我们就可以通过三角形三个顶点的坐标，计算出这个三角形的面积等。

三、数形结合，互相转换

几何定理虽然呈现的是图形的几何性质，但性质中不乏线段相等及倍数关系等数量关系，而这些数量关系的发现，又是与图形相关的。尤其是锐角三角函数的出现，更加凸显了数形结合的重要。解直角三角形是利用直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，在知道其中的两个元素（至少有一个边）后，就可以求出其余元素。求线段的长度或角度的度数问题，属于代数计算的问题。所以解直角三角形，是典型的数形结合，它是利用代数知识解决几何图形问题，借助几何图形解决代数问题，体现了数形结合的优点。我们借助直角三角函数的图形，易得三角形的边角关系。

例如：在△ABC中，AB=2，BC=■，∠CAB=135°，求AC的长。

■

如图，首先将条件中所给的已知条件标在图上，由图中∠CAB=135°，想到补角为45°，进而延长BA作出辅助三角形ADC，在Rt△CDB中利用勾股定理列出方程x2+（x+2）2=10，解方程得到线段AD的长，再利用等腰三角形ADC求出AC的长。

“数以形而直观，形以数而入微。”这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，对于解决实际问题提供了巧妙的思想方法。在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中，要充分挖掘教材内容，将数形结合思想渗透于具体的問题中，在解决问题中让学生正确理解“数”与“形”的相对性，使之有机地结合起来。让学生真正将数形结合思想应用到解题中，真正做到学以致用。

参考文献：

杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用[J].河北理科教学研究，2008.