何谓“地球表面附近”

汪 嫚 黄时中

(安徽师范大学物理与电子信息学院,安徽 芜湖 241000)

何谓“地球表面附近”

汪 嫚 黄时中

(安徽师范大学物理与电子信息学院,安徽 芜湖 241000)

笔者将重力与万有引力、重力的功与万有引力的功进行了细致的分析和比较,利用Mathematica软件绘出两者之间的相对误差与高度之间的关系图像,从而明确地回答了“何谓地球表面附近”这一问题。

地球表面附近;重力;万有引力;相对误差

1 引言

在现行高中物理教材中,重力的定义如下:(1) 地球附近一切物体都受到地球的吸引力,由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力[1]。(2) 物体在地面表面附近受到地球的吸引而产生的力叫做重力[2]。(3) 在地球表面附近的物体都会受到地球的吸引，这种由于地球的吸引而使物体受到的力,叫做重力[3]。在这些定义中,都有一个前提条件——在地球表面附近。那么,何谓“地球表面附近”呢?教材对此没有做进一步说明。在教学中,教师通常是照本宣科,学生则是记住此说法。为了解决这一教学难点问题,笔者将重力与万有引力、重力的功与万有引力的功进行了细致的分析和比较,利用Mathematica软件绘出两者之间的相对误差与高度之间的关系图像,从而明确地回答了“何谓地球表面附近”这一问题。我们的结论是:“在地球表面附近到底是多近”取决于所研究的问题中所要求的精度,给定了具体问题的精度,就能确定物体离开地球表面的高度。这一工作对高中物理中重力概念的教学有一定参考作用。

2 重力与万有引力比较

如图1所示，地球表面附近的物体所受的重力,主要来源于地球的万有引力F以及因地球自转而存在的惯性力F1,即万有引力和惯性力的共同作用形成重力P[4]。

图1

在地球表面附近的物体,其所受的惯性力通常小于万有引力,因而在一些精确度要求不太高的计算中,可以忽略地球自转的影响(即忽略惯性力),近似地认为重力等于地球对物体的引力。

利用Mathematica绘出的ur-h图像如图2所示，其中图2a中h的取值范围是0～1×107m,图2b中h的取值范围是0～10000m。

图2

由图2可以看出随着高度h的增加，其相对误差也在逐渐增加，当h>R时其相对误差非常大,所以在书中提到地球表面附近时都会指出h≪R。由图2a可以看出在一个较大的范围内,随着h的增加，相对误差增加的速率也在增加,为了进一步了解“何谓地球表面附近”,将h的取值定为0～10000m绘出其对应相对误差图像如图2b所示，就估算重力的大小而言,当误差需小于0.01%时,其高度不得超过300m;当误差需小于0.05%时,其高度不得超过1600m;当误差需小于0.1%时,其高度不得超过3200m……

3 重力的功与万有引力的功比较

图3

下面进一步通过分析和比较重力的功与万有引力的功,来阐明“何谓地球表面附近”这一问题。为简便起见,我们采用如图3所示的模型,考察一质量为m的物体从地面上升到距地面高度h处的过程中,地球引力对物体所做的功以及“物体所受的重力所做的功”。

图4

利用Mathematica绘出的ur-h图像如图4所示。其中图4a中h的取值范围是0～1×107m,图4b中h的取值范围是0～10000m。由图4可以看出:就估算重力的功的大小而言,当高度h取值不同时,相对误差不同，且随着h的增大,相对误差在增大。从图4a可以看出:当h>R时,其相对误差非常大。从图4b可以看出:就估算重力的功的大小而言,当误差需小于0.01%时,高度不得超过600m;当误差需小于0.05%时,高度不得超过3200m;当误差需小于0.1%时,高度不得超过6400m……

4 结语

综上所述,“何谓地球表面附近”取决于所研究的问题中所要求的精度。运用Mathematica可计算出不同高度处近似值与直接用万有引力所得到的精确值的相对误差,可以确定与所要求的精度相对应的高度。

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 物理必修1[M].北京:人民教育出版社,2004.

[2] 华东师范大学,浦东新区社会发展局.高级中学物理课本高中一年级第一学期(试用本)[M].上海:上海科技出版社,2007.

[3] 陈熙谋，吴祖仁．普通高中课程标准实验教科书 物理必修1[M].北京:教育科学出版社,2004.

[4] 黄时中,倪致祥.大学物理(上册)[M].北京:高等教育出版社,2014.

本文系安徽省自然科学基金项目(11040606M15)、国家自然科学基金专项基金项目(11047019)的阶段性研究成果。