一类非线性SEIRS传染病传播数学模型

王 婷，王 辉，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

一类非线性SEIRS传染病传播数学模型

王 婷，王 辉，胡志兴

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

研究了一类具有非线性发生率的易感者-暴露类-患病者-恢复者-易感者(SEIRS)传染病模型。利用Routh-Hurwitz判别法，分析了无病平衡点与地方病平衡点的局部渐近稳定性；采用Lyapunov-LaSalle不变原理，分析了无病平衡点的全局渐近稳定性；运用持久性理论证明了模型的持久性，并给出了地方病平衡点全局渐近稳定的猜想。最后通过数值模拟验证了结论与猜想。

无病平衡点；地方病平衡点；Lyapunov-LaSalle不变原理；Routh-Hurwitz判别法；基本再生数；非线性饱和发生率；持久性理论

0 引言

1 传染病模型的建立

建立以下易感者-暴露类-患病者-恢复者-易感者(susceptible-exposure-infected-recovery-susceptible，SEIRS)传染病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)和R(t)分别为t时刻易感者、暴露类、患病者和恢复者人群的数量；M为初始人口规模；b为人均出生率；μ为自然死亡率；β为有效接触率；γ为免疫丧失率；σ为潜伏期个体变成患病者的概率；α为因病死亡率；τ为患病者恢复率；α1和α2为环境和心理等因素对于疾病的抑制作用因数；b、μ、σ和M为正数，其余参数非负。此外，本模型只考虑患病者具有传染性的情况。

规定在t时刻人口规模为N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)。t时刻总人口规模变化率为：

N′(t)=bM-μS(t)-μR(t)-μE(t)-(μ+α)I(t)=bM-μN(t)-αI(t)，

2 模型分析

3 无病平衡点P1和地方病平衡点的局部稳定性

命题1 R0≠1时，无病平衡点P1是局部渐近稳定的。

证明 模型(1)在无病平衡点P1处的特征方程为：

(λ+μ)(λ+μ+γ)(λ+μ+σ)(λ+μ+α+τ)(1-R0)=0。

因为R0≠1，所以可求得此时矩阵的特征值分别为λ1=-μ，λ2=-(σ+μ)，λ3=-(μ+α+τ)，λ4=-(μ+γ)。由于模型(1)中参数均为非负，所以所有特征值均具有负实部，故无病平衡点P1是局部渐近稳定的，命题1得证。

d0λ4+d1λ3+d2λ2+d3λ1+d4=0，

行列式

Δ1=d1=4μ+A1+γ+α+τ+σ>0；

Δ3=(d1d2-d3)d3-d12d4=n1(x1x2-x1A1+x2A1-A12)(σA2)2+n2σA2+n3，

其中：n1=2μ(2μ+A1+γ)+(α+τ+σ)(2μ+γ)+γA1;n2=A1(x1+x2)(x3+2x1x2)-(x1-x2)×A1[x4+(x1-x2)(μ+γ)]-x4(x12+x22)-x1x2(x1x2+2x3)；n3=x1x22x3(1+x1+x2)+x1x2x4×(x12+x1x2+x4-x3)+(x1+x2)2A1γστ。

命题2 若R0>1，则有：

4 无病平衡点P1的全局稳定性与模型的持久性

定理1 若R0<1,则无病平衡点P1是全局渐近稳定的。

证明 定义Lyapunov函数V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)，其中:

容易证明V(S,E,I,R)=V1(S,E,I,R)+V2(S,E,I,R)是正定的。以下证明

由Lyapunov-LaSalle不变原理知:无病平衡点P1是全局渐近稳定的。定理1得证。

利用文献[9]中的定理4.6以及文献[10-11]可以证明模型(1)的持久性。

定理2 若R0>1，模型(1)满足初值S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0的任意解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))是持久的，即存在正常数mi并使得

设(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈M∂，则有I(t)≡0。记ω(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))为从(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X出发的解的ω-极限集。

令Ω′=∪{ω(S(0)，(0)，(0)，(0))|S(0)，(0)，(0)，(0)∈M∂}，则在M∂上有I(t)=0。则模型(1)的极限系统为：

(2)

(3)

其中:(S,E,I,R)的初值(S(0)，E(0)，I(0)，R(0))∈X0。由文献[12-13]知，如果

Ws(P1)∩X0=φ

(4)

成立，其中Ws(P1)为P1的稳定流形，则式(3)成立。假设式(4)不成立，则存在一个初始值为(S(0),E(0),I(0),R(0))∈X0的解(S(t)，E(t)，I(t)，R(t))∈X0，t≥0，使得t→∞时，有

(5)

(6)

因此，当t≥T时，式(6)与式(5)矛盾，故式(4)成立。所以模型(1)为持久的，即定理2得证。

5 数值模拟

采用数值模拟来验证无病平衡点P1的全局渐近稳定性。对模型(1)中的参数选择如下：

M=60,b=0.65,μ=0.01,β=2.5,σ=0.005，α1=8，α2=3，τ=0.2，γ=0.05 α=0.03。此时R0=0.434 0<1。任意选择初始值E0=(2 500,1 900,1 600,1 400)，无病平衡点P1=(3 900,0,0,0)。因此，由定理1知，无病平衡点P1是全局渐近稳定的。无病平衡点P1的全局渐近稳定性的数值模拟图如图1所示。

6 结束语

[1]ZHOUXY,CUIJA.AnalysisofstabilityandbifurcationforanSEIRepidemicmodelwithsaturatedrecoveryrate[J].Communicationsinnonlinearscienceandnumericalsimulation,2011,16(11):4438-4450.

[2]WANGJL,LIUSQ,ZHENGBW,etal.QualitativeandbifurcationanalysisusinganSIRmodelwithasaturatedtreatmentfunction[J].Mathematicalandcomputermodelling,2012,55(3/4):710-722.

[3]WENLS,YANGXF.GlobalstabilityofadelayedSIRSmodelwithtemporaryimmunity[J].Chaos,solitionsandfractals,2008,38(1):221-226.

[4]ZHAOYA,JIANGDQ,MAOXR,etal.ThethresholdofastochasticSIRSepidemicmodelinapopulationwithvaringsize[J].Discreteandcontinuousdynamicalsystemsseriesb,2015,20(4):1289-1307.

[5]SUNCJ,HSIEHYH.GlobalanalysisofanSEIRmodelwithvaryingpopulationsizeandvaccination[J].Appliedmathematicalmodelling,2010,34(10):2685-2697.

[6]LIXZ,ZHOULL.GlobalstabilityofanSEIRepidemicmodelwithverticaltransmissionandsaturatingcontactrate[J].Chaos,solitionsandfractals,2009,40(40):874-884.

[7]ABTAA,KADDARA,HAMADTA.GlobalstabilityfordelaySIRandSEIRepidemicmodelswithsaturatedincidencerates[J].Electronicjournalofdifferentialequations,2012,386(2):956-965.

[8]LIUZJ.DynamicsofpositivesolutionstoSIRandSEIRepidemicmodelswithsaturatedincidencerates[J].Nonlinearanalysisrealworldapplications,2013,14(3):1286-1299.

[9] THIEME H R.Persistence under relaxed point-dissipativity (with applicationto an endemic model)[J].SIAM journal on mathematic analysis,1993,24(2):407-435.

[10]刘俊利，贾滢.一种具有媒体报道的SEIRS传染病模型的动力学分析[J].纺织高校基础科学学报，2016，29(1)：18-25.

[11] 刘俊利，刘璐菊.具有媒体报道的传染病模型稳定性[J].河南科技大学学报(自然科学版)，2016，37(2)：88-91.

[12] SUN C J,YANG W,ARINO J,et al.Effect of media-induced social distancing on disease transmission in a two patch setting[J].Mathematical biosciences,2011,230(2):87-95.

[13] LEEBGEER P D,SMITH H L.Virus dynamics:a global analysis[J].SIAM journal on applied mathematics,2003,63(4):1313-1327.

国家自然科学基金项目(61174209，11471034)

王婷(1991-)，女，山东枣庄人，硕士生；王辉(1965-)，女，山西榆次人，副教授，硕士，硕士生导师，主要研究方向为泛函微分方程与动力系统.

2016-09-01

1672-6871(2017)02-0084-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.016

O175

A